Khỏe Đẹp Bài tập

Bài tập 2 trang 68 Toán Hình 12

Cho ba điểm \[A = [1; -1; 1], B = [0; 1; 2], C = [1; 0; 1]\]. Tìm tọa độ trọng tâm \[G\] của tam giác \[ABC\].

Phương pháp giải – Xem chi tiết

\[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] thì: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 0 + 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ – 1 + 1 + 0}}{3} = 0\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{1 + 2 + 1}}{3} = \frac{4}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow G\left[ {\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}} \right]\]

Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...

Page 2

Bài 1 trang 80 - SGK Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng:

a] Đi qua điểm \[M[1; -2; 4]\] và nhận \[\overrightarrow{n}= [2; 3; 5]\] làm vectơ pháp tuyến.

b] Đi qua điểm \[A[0 ; -1 ; 2]\] và song song với giá của các vectơ \[\overrightarrow{u}[3; 2; 1]\] và \[\overrightarrow{v}[-3; 0; 1]\].

c] Đi qua ba điểm \[A[-3 ; 0 ; 0], B[0 ; -2 ; 0] và C[0 ; 0 ; -1]\].

Giải:

a] Măt phẳng \[[P]\] đi qua điểm \[M[1; -2; 4]\] và nhận \[\overrightarrow{n}= [2; 3; 5]\] làm vectơ pháp tuyến có phương trình:

\[2[x - 1] + 3[x +2] + 5[z - 4] = 0\] \[⇔ [P] : 2x + 3y + 5z -16 = 0\].

b] Xét \[\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} \right ] = [2 ; -6 ; 6]\], khi đó \[\overrightarrow{n} \bot [Q]\] là mặt phẳng qua \[A [0 ; -1 ; 2]\] và song song với \[\overrightarrow{u}\],\[\overrightarrow{v}\] [nhận \[\overrightarrow{u}\],\[\overrightarrow{v}\] làm vectơ chỉ phương].

Phương trình mặt phẳng \[[Q]\] có dạng:

\[2[x - 0] - 6[y + 1] + 6[z - 2] = 0\] \[ ⇔ [Q] :x - 3y + 3z - 9 = 0\]

c] Gọi \[R]\] là mặt phẳng qua \[A, B, C\] khi đó \[\overrightarrow{AB}\], \[\overrightarrow{AC}\] là cặp vectơ chỉ phương của \[[R]\].

\[\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ]=\begin{vmatrix} -2 &0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 0 & 3\\ -1& 3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 3& 0 \end{vmatrix}\]

\[= [2 ; 3 ; 6]\]

Vậy phương trình mặt phẳng \[[R]\] có dạng: \[2x + 3y + 6z + 6 = 0\]

Bài 2 trang 80 - SGK Hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\] với \[A[2 ; 3 ; 7]\] và \[B[4 ; 1 ; 3]\].

Giải:

Mặt phẳng trung trực \[[P]\] của đoạn thẳng \[AB\] chính là mặt phẳng qua trung điểm \[I\] của \[AB\] và vuông góc với vectơ \[\overrightarrow{AB}\].

Ta có \[\overrightarrow{AB}[2 ; -2; -4]\] và \[I[3 ; 2 ; 5]\] nên phương trình mặ phẳng \[[P]\] là:

\[2[x - 3] - 2[y - 2] - 4[z - 5] = 0\]

hay \[x -y -2z + 9 = 0\].

Bài 3 trang 80 - SGK Hình học 12

a] Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \[[Oxy], [Oyz], [Ozx]\].

b] Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \[M[2 ; 6 ; -3]\] và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Giải:

a] Mặt phẳng \[[Oxy]\] qua điểm \[O[0 ; 0 ; 0]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{k}[0 ; 0 ; 1]\] và là vectơ chỉ phương của trục \[Oz\]. Phương trình mặt phẳng \[[Oxy]\] có dạng:

\[ 0.[x - 0] +0.[y - 0] +1.[z - 0] = 0\] hay \[z = 0\].

Tương tự phương trình mặt phẳng \[[Oyz]\] là : \[x = 0\] và phương trình mặt phẳng \[[Ozx]\] là: \[y = 0\].

b] Mặt phẳng \[[P]\] qua điểm \[M[2; 6; -3]\] song song với mặt phẳng \[Oxy\] nhận \[\overrightarrow{k}[0 ; 0 ; 1]\] làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \[[P]\] có dạng: \[z +3 = 0\].

Tương tự mặt phẳng \[[Q]\] qua \[M\] và song song với mặt phẳng \[Oyz\] có phương trình \[x - 2 = 0\].

Mặt phẳng qua \[M\] song song với mặt phẳng \[Oxz\] có phương trình \[y - 6 = 0\].

Bài 4 trang 80 - SGK Hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng :

a] Chứa trục \[Ox\] và điểm \[P[4 ; -1 ; 2]\];

b] Chứa trục \[Oy\] và điểm \[Q[1 ; 4 ;-3]\];

c] Chứa trục \[Oz\] và điểm \[R[3 ; -4 ; 7]\];

Giải:

a] Gọi \[[α]\] là mặt phẳng qua \[P\] và chứa trục \[Ox\], thì \[[α]\] qua điểm \[O[0 ; 0 ; 0]\] và chứa giá của các vectơ \[\overrightarrow{OP} [4 ; -1 ; 2]\] và \[\overrightarrow{i}[ 1 ; 0 ;0]\]. Khi đó \[\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{OP},\overrightarrow{i} \right ] =[0 ; 2 ; 1]\] là vectơ pháp tuyến của \[[α]\].

Phương trình mặt phẳng \[[α]\] có dạng: \[2y + z = 0\].

b] Tương tự phần a] mặt phẳng \[[β]\] qua điểm \[Q[1 ; 4 ; -3]\] và chứa trục \[Oy\] thì [[β]\] qua điểm \[O[ 0 ; 0 ; 0]\] có \[\overrightarrow{OQ} [1 ; 4 ; -3]\] và \[\overrightarrow{j}[0 ; 1 ; 0]\] là cặp vectơ chỉ phương.

Phương trình mặt phẳng \[[β]\] có dạng : \[3x + z = 0\].

c] Mặt phẳng \[[ɣ]\] qua điểm \[R[3 ; -4 ; 7]\] và chứa trục \[Oz\] chứa giá của các vectơ

\[\overrightarrow{OR}[3 ; -4 ; 7]\] và \[\overrightarrow{k}[0 ; 0 ; 1]\] nhận \[2\] vectơ này làm vectơ chỉ phương.

Phương trình mặt phẳng \[[ɣ]\] có dạng: \[4x + 3y = 0\].

Giaibaitap.me

Page 3

Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...

Page 4

Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...

Page 5

Bài 1 trang 89 - SGK Hình học 12.

Viết phương trình tham số của đường thẳng \[d\] trong các trường hợp sau:

a] \[d\] đi qua điểm \[M[5 ; 4 ; 1]\] có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow{a}[2 ; -3 ; 1]\] ;

b] \[d\] đi qua điểm \[A[2 ; -1 ; 3]\] và vuông góc với mặt phẳng \[[α]\] có phương trình:

\[x + y - z + 5 = 0\] ;

c] \[d\] đi qua điểm \[B[2 ; 0 ; -3]\] và song song với đường thẳng \[∆\] có phương trình:

\[\left\{\begin{matrix} x =1+2t\\ y=-3+3t\\ z=4t \end{matrix}\right.\] ;

d] \[d\] đi qua hai điểm \[ P[1 ; 2 ; 3]\] và \[ Q[5 ; 4 ; 4]\].

Giải:

a] Phương trình đường thẳng \[d\] có dạng: \[\left\{\begin{matrix} x =5+2t\\ y=4-3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\], với \[t ∈ \mathbb{R}\].

b] Đường thẳng \[d\] vuông góc với mặt phẳng \[[α]: x + y - z + 5 = 0\] nên có vectơ chỉ phương

\[\overrightarrow{u}[1 ; 1 ; -1]\] vì \[\overrightarrow{u}\] là vectơ pháp tuyến của \[[α]\].

Do vậy phương trình tham số của \[d\] có dạng:

\[\left\{\begin{matrix} x= 2+t & \\ y=-1+t &,t\in R .\\ z=3-t& \end{matrix}\right.\]

c] Vectơ \[\overrightarrow{u}[2 ; 3 ; 4]\] là vectơ chỉ phương của \[∆\]. Vì \[d // ∆\] nên \[\overrightarrow{u}\] cùng là vectơ chỉ phương của \[d\]. Phương trình tham số của \[d\] có dạng:

\[\left\{\begin{matrix} x=2+2s & \\ y=3s &,s\in R. \\ z=-3 + 4s & \end{matrix}\right.\]

d] Đường thẳng \[d\] đi qua hai điểm \[P[1 ; 2 ; 3]\] và \[Q[5 ; 4 ; 4]\] có vectơ chỉ phương

\[\overrightarrow{PQ}[4 ; 2 ; 1]\] nên phương trình tham số có dạng:

\[\left\{\begin{matrix}x= 1+4s & \\ y =2+2s&,s\in R. \\ z=3+s& \end{matrix}\right.\]

Bài 2 trang 89 - SGK Hình học 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng

\[d\]: \[\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\]

lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a] \[[Oxy]\] ;

b] \[[Oyz]\].

Giải:

a] Xét mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[d\] và \[[P] ⊥ [Oxy]\], khi đó \[∆ = [P] ∩ [Oxy]\] chính là hình chiếu vuông góc của \[d\] lên mặt phẳng \[[Oxy]\].

Phương trình mặt phẳng \[[Oxy]\] có dạng: \[z = 0\] ; vectơ \[\overrightarrow{k}\][0 ; 0 ;1] là vectơ pháp tuyến của \[[Oxy]\], khi đó \[\overrightarrow{k}\] và \[\overrightarrow{u}[ 1 ; 2 ; 3]\] là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \[[P]\].

\[\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = [2 ; -1 ; 0]\] là vectơ pháp tuyến của \[[P]\].

Phương trình mặt phẳng \[[P]\] có dạng:

\[2[x - 2] - [y + 3] +0.[z - 1] = 0\]

hay \[2x - y - 7 = 0\].

Đường thẳng hình chiếu \[∆\] thỏa mãn hệ:

\[\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\]

Điểm \[M_0[ 4 ; 1 ; 0] ∈ ∆\] ; vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{v}\] của \[∆\] vuông góc với \[\overrightarrow{k}\] và vuông góc với \[\overrightarrow{n}\], vậy có thể lấy \[\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]= [1 ; 2 ; 0]\].

Phương trình tham số của hình chiếu \[∆\] có dạng:

\[\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.\].

b] Tương tự phần a], mặt phẳng \[[Oxy]\] có phương trình \[x = 0\].

lấy \[M_1[ 2 ; 3 ; -1] ∈ d\] và \[M_2[ 0 ; -7 ; -5] ∈ d\], hình chiếu vuông góc của

\[M_1\] trên \[[Oxy]\] là \[M_1\]\[[0 ; -3 ; 1]\], hình chiếu vuông góc của \[M_2\] trên \[[Oyz]\] là chính nó.

Đườn thẳng \[∆\] qua \[M'_1, MM_2\] chính là hình chiếu vuông góc của \[d\] lên \[[Oyz]\].

Ta có: \[\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}[0 ; -4 ; -6]\] // \[\overrightarrow{v} [0 ; 2 ; 3]\].

Phương trình \[M'_1M_2\] có dạng:

\[\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\].

Bài 3 trang 90 - SGK Hình học 12.

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a] d: \[\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\] và

d': \[\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\] ;

b] d: \[\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\] và

d': \[\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\]

Giải:

a] Đường thẳng \[d\] đi qua \[M_1[ -3 ; -2 ; 6]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{u_{1}}[2 ; 3 ; 4]\].

Đường thẳng \[d'\] đi qua \[M_2[ 5 ; -1 ; 20]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{u_{2}}[1 ; -4 ; 1]\].

Ta có \[\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ] = [19 ; 2 ; -11]\] ; \[\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = [8 ; 1 ; 14] \]

và \[\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = [19.8 + 2 - 11.4] = 0\]

nên \[d\] và \[d'\] cắt nhau.

Nhận xét : Ta nhận thấy \[\overrightarrow{u_{1}}\], \[\overrightarrow{u_{2}}\] không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:\[\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & [1]\\ -2+3t=-1-4t' & [2] \\ 6+4t=20+t'& [3] \end{matrix}\right.\]

Từ [1] với [3], trừ vế với vế ta có \[2t = 6 => t = -3\], thay vào [1] có \[t' = -2\], từ đó \[d\] và \[d'\] có điểm chung duy nhất \[M[3 ; 7 ; 18]\]. Do đó d và d' cắt nhau.

b] Ta có : \[\overrightarrow{u_{1}}[1 ; 1 ; -1]\] là vectơ chỉ phương của d và \[\overrightarrow{u_{2}}[2 ; 2 ; -2]\] là vectơ chỉ phương của d' .

Ta thấy \[\overrightarrow{u_{1}}\] và \[\overrightarrow{u_{2}}\] cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \[M[1 ; 2 ; 3] ∈d\] ta thấy \[M \notin d'\] nên \[d\] và \[d'\] song song.

Bài 4 trang 90 - SGK Hình học 12

Tìm \[a\] để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

d: \[\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\] d': \[\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\]

Giải:

Xét hệ \[\left\{\begin{matrix} 1+at=1-s &[1]\\ t = 2+2s & [2]\\ -1+2t=3-s & [3] \end{matrix}\right.\]

Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất.

Nhân hai vế của phương trình [3] với 2 rồi cộng vế với vế vào phương trình [2], ta có \[t = 2\]; \[s = 0\]. Thay vào phương trình [1] ta có \[1 + 2a = 1 => a =0\].

Vậy \[a = 0\] thì d và d' cắt nhau.

Giaibaitap.me

Page 6

Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...

Page 7

Giải bài 1, 2 trang 274, 275 SGK Sinh học 12 Nâng...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 273, 274 SGK Sinh học...
Giải bài I.1, I.2, II.1, II.2 trang 272 SGK Sinh...
Giải bài 6, 7, 8, 9, 10 trang 271 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 270 SGK Sinh học 12...
Giải bài 5, 6, 7, 8, 9 trang 268, 269, 270 SGK...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 267 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 266 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 263 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 258 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 254 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 248 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 243 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 239 SGK Sinh học 12...
Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 236 SGK Sinh học 12...

Page 8

Bài 1 trang 91 SGK Hình học 12

Cho hệ toạ độ \[Oxyz\], cho bốn điểm \[A[ 1 ; 0 ; 0 ], B[ 0 ; 1 ; 0 ], C[ 0 ; 0 ; 1 ], D[ -2 ; 1 ; -1]\].

a] Chứng minh \[A, B, C, D\] là bốn đỉnh của một tứ diện.

b] Tìm góc giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\].

c] Tính độ dài đường cao của hình chóp \[A.BCD\].

Giải

a] Viết phương trình mặt phẳng \[[ABC]\]: Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

\[[ABC]\]: \[{x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\]

Thế các toạ độ của \[D\] vào vế phải của phương trình mặt phẳng \[[ABC]\], ta có:

\[-2 + 1 - 1 - 1 = 1 ≠ 0\]

Vậy \[D ∉ [ABC]\] hay bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng, suy ra đpcm.

b] Gọi \[α\] là góc giữa hai đường thẳng \[AB, CD\] ta có:

\[cos α =\left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|\]

Do đó, ta tính \[\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\]. Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \],\[\overrightarrow {CD} \] được tính theo công thức:

\[\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\]

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [ - 1,1,0]\], \[\overrightarrow {CD} = [ - 2,1, - 2]\]

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= [-1].[-2] + 1.1 + 0.[-2] = 3\]

\[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{[ - 1]}^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 2 \]

\[\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{[ - 2]}^2} + {1^2} + {{[ - 2]}^2}} = 3\]

\[ \Rightarrow \cos [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = 45^0\] \[ \Rightarrow α = 45^0\]

c] Ta có \[\overrightarrow {BC} = [0; - 1;1],\] \[\overrightarrow {BD} = [ - 2;0; - 1]\]

Gọi \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của \[[BCD]\] thì:

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = [-1; -2; 2]\]

Phương trình mặt phẳng \[[BCD]\]:

\[-1[x - 0] - 2[y - 1] + 2[ z - 0] = 0\]

\[ \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0\]

Chiều cao của hình chóp \[A.BCD\] bằng khoảng cách từ điểm \[A\] đến mặt phẳng \[[BCD]\]:

\[h = d[A,[BCD]] = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{[ - 2]}^2}} }} = {3 \over 3} = 1\]

Bài 2 trang 91 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[[S]\] có đường kính là \[AB\] biết rằng \[A[ 6 ; 2 ; -5], B[-4 ; 0 ; 7]\].

a] Tìm toạ độ tâm \[I\] và tính bán kính \[r\] của mặt cầu \[[S]\]

b] Lập phương trình của mặt cầu \[[S]\].

c] Lập phương trình của mặt phẳng \[[α]\] tiếp xúc với mặt cầu \[[S]\] tại điểm \[A\].

Giải

a] Tâm \[I\] của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\]:

\[\left\{ \matrix{{x_1} = {1 \over 2}[6 - 4] \Rightarrow {x_1} = 1 \hfill \cr {y_1} = {1 \over 2}[2 + 0] \Rightarrow {y_1} = 1 \hfill \cr

{z_1} = {1 \over 2}[7 - 5] \Rightarrow {z_1} = 1 \hfill \cr} \right.\]

Vậy \[I[1; 1; 1]\]

Bán kính \[R = {{AB} \over 2}\]

\[A{B^2} = {\rm{ }}{\left[ { - 4{\rm{ }} - {\rm{ }}6} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {{\rm{ }}0{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {7{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right]^2} = {\rm{ }}248\]

\[ \Rightarrow AB = \sqrt {248} = 2\sqrt {62} \]

Vậy \[R = {{AB} \over 2} = \sqrt {62} \]

b] Phương trình mặt cầu \[[S]\]

\[{\left[ {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {z{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]^{2}} = {\rm{ }}62\]

\[ \Leftrightarrow \] \[{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} - {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}59{\rm{ }} = {\rm{ }}0\]

c] Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \[A\] chính là mặt phẳng qua \[A\] và vuông góc với bán kính \[IA\]. Ta có:

\[\overrightarrow {IA} = [5; 1 ; -6]\]

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

\[5[x - 6] + 1[y - 2] - 6[z + 5] = 0\]

\[ \Leftrightarrow 5x + y - 6z - 62 = 0\]

Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho bốn điểm \[A[-2 ; 6 ; 3], B[1 ; 0 ; 6], C[0; 2 ; -1], D[1 ; 4 ; 0]\].

a] Viết phương trình mặt phẳng \[[BCD]\]. Suy ra \[ABCD\] là một tứ diện.

b] Tính chiều cao \[AH\] của tứ diện \[ABCD\].

c] Viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] chứa \[AB\] và song song với \[CD\].

Giải

a] Ta có: \[\overrightarrow {BC} = [-1; 2; -7]\], \[\overrightarrow {BD}= [0; 4; -6]\]

Xét vectơ \[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]\] \[ \Rightarrow \overrightarrow a = [16; - 6; - 4] = 2[8; - 3; - 2]\]

Mặt phẳng \[[BCD]\] đi qua \[B\] và nhận \[\overrightarrow {a'} = [8; -3; -2]\] làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

\[8[x - 1] -3y - 2[z - 6] = 0\] \[ \Leftrightarrow 8x - 3y - 2z + 4 = 0\]

Thay toạ độ của \[A\] vào phương trình của \[[BC]\] ta có:

\[8.[-2] - 3.6 - 2.6 + 4 = -42 ≠ 0\]

Điều này chứng tỏ điểm \[A\] không thuộc mặt phẳng \[[BCD]\] hay bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng, và \[ABCD\] là một tứ diện.

b] Chiều cao \[AH\] là khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[[BCD]\]:

\[AH = d[A,[BCD]]\] = \[{{\left| {8.[ - 2] - 3.6 - 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{[ - 3]}^2} + {{[ - 2]}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}\]

c] Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [3; - 6; 3]\], \[\overrightarrow {CD} = [ 1; 2; 1]\]

Mặt phẳng \[[α]\] chứa \[AB\] và \[CD\] chính là mặt phẳng đi qua \[A[-2; 6; 3]\] và nhận cặp vectơ \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {CD} \] làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]\]

\[\Rightarrow \overrightarrow n \] = \[[-12; 0; 12] = -12[1; 0; -1]\]

Vậy phương trình của \[[α]\] là:

\[1[x + 2] + 0[y - 6] - 1[z - 3] = 0 \]\[ \Leftrightarrow x - z + 5 = 0\]

Bài 4 trang 92 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], lập phương trình tham số của đường thẳng:

a] Đi qua hai điểm \[A[1 ; 0 ; -3], B[3 ; -1 ; 0]\].

b] Đi qua điểm \[M[2 ; 3 ; -5]\] và song song với đường thẳng \[∆\] có phương trình.

\[\left\{ \matrix{x = - 2 + 2t \hfill \cr y = 3 - 4t \hfill \cr

z = - 5t. \hfill \cr} \right.\]

Giải

a] Đường thẳng \[d\] qua \[A, B\] có vectơ chỉ phương \[[2, -1, 3]\] nên phương trình tham số của \[d\] có dạng:

\[\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = - t \hfill \cr

z = - 3 + 3t \hfill \cr} \right.\]

với \[t ∈ \mathbb{R}\].

b] Đường thẳng \[d // ∆\]. Mà \[\overrightarrow u [2, -4, -5]\] là vectơ chỉ phương của \[∆\] nên cũng là vectơ chỉ phương của \[d\]. Phương trình tham số của đường thẳng \[d\] là:

\[\left\{ \matrix{x = 2 + 2s \hfill \cr y = 3 - 4s \hfill \cr

z = - 5 - 5s \hfill \cr} \right.\]

với \[s ∈ \mathbb{R}\].

Giaibaitap.me

Page 9

Bài 5 trang 92 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[[S]\] có phương trình: \[{[x - 3]^2} + {[y + 2]^2} + {[z - 1]^2} = 100\] và mặt phẳng \[[α]\] có phương trình \[2x - 2y - z + 9 = 0\]. Mặt phẳng \[[α]\] cắt mặt cầu \[[S]\] theo một đường tròn \[[C]\].

Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn \[[C]\].

Giải

Mặt cầu \[[S]\] có tâm \[I[3, -2, 1]\] và bán kính \[R = 10\].

Khoảng cách từ tâm \[I\] của mặt cầu \[[S]\] đến mặt phẳng \[[α]\] là:

\[d[I, α]\] = \[\left| {{{2.3 - 2.[ - 2] - 1 + 9} \over {\sqrt {{2^2} + {{[ - 2]}^2} + {{[ - 1]}^2}} }}} \right| = {{18} \over 3} = 6\]

Vì \[d[I, α] < R\] \[ \Rightarrow \] Mặt phẳng \[[α]\] cắt mặt cầu \[[S]\] theo đường tròn \[[C]\] có phương trình \[[C]\]:

\[\left\{ \matrix{2x - 2y - z + 9 = 0 \hfill \cr

{[x - 3]^2} + {[y + 2]^2} + {[z - 1]^2} = 100 \hfill \cr} \right.\]

Tâm \[K\] của đường tròn \[[C]\] là hình chiếu vuông góc của tâm \[I\] của mặt cầu trên mặt phẳng \[[α]\].

Mặt phẳng \[[[α]\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = [2, -2. -1]\].

Đường thẳng \[d\] qua \[I\] và vuông góc với \[[α]\] nhận \[\overrightarrow n = [2, -2, -1]\] làm vectơ chỉ phương và có phương trình \[d\] :

\[\left\{ \matrix{x = 3 + 2t \hfill \cr y = - 2 - 2t \hfill \cr

z = 1 - t \hfill \cr} \right.\]

Thế các biểu thức của \[x,y,z\] theo \[t\] vào phương trình của \[[\alpha]\] ta được:

\[2.[3+2t]-2.[-2-2t]-[1-t]+9=0\]

\[\Rightarrow t=-2\]

Thay \[t = -2\] vào phương trình của \[d\], ta được toạ độ tâm \[K\] của đường tròn \[[C]\].

\[\left\{ \matrix{x = 3 + 2.[ - 2] = - 1 \hfill \cr y = - 2 - 2.[ - 2] = 2 \hfill \cr

z = 1 - 2.[ - 2] = 3 \hfill \cr} \right.\]

\[ \Rightarrow K[-1; 2;3]\]

Ta có: \[I{K^2} = {\rm{ }}{\left[ { - 1{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {3{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]^2} = {\rm{ }}36\]

Bán kính \[r\] của đường tròn \[[C]\] là:

\[{r^2} = {\rm{ }}{R^2} - {\rm{ }}I{K^2} = {\rm{ }}{10^2} - {\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}64\] \[ \Rightarrow r= 8\]

Bài 6 trang 92 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[[α]\] có phương trình \[3x + 5y - z -2 = 0\] và đường thẳng \[d\] có phương trình

\[\left\{ \matrix{x = 12 + 4t \hfill \cr y = 9 + 3t \hfill \cr

z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\]

a] Tìm giao điểm \[M\] của đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[[α]\].

b] Viết phương trình mặt phẳng \[[β]\] chứa điểm \[M\] và vuông góc với đường thẳng \[d\].

Giải

a] Thay toạ độ \[x, y, z\] trong phương trình đường thẳng \[d\] vào phương trình \[[α]\], ta có: \[3[12 + 4t] + 5[ 9 + 3t] - [1 + t] - 2 = 0\].

\[\Rightarrow 26t + 78 = 0\] \[ \Rightarrow t = - 3\] \[ \Rightarrow M[0; 0; - 2]\].

b] Vectơ \[\overrightarrow u [4; 3; 1]\] là vectơ chỉ phương của \[d\]. Mặt phẳng \[[β]\] vuông góc với \[d\] nhận \[\overrightarrow u \] làm vectơ pháp tuyến. Vì \[M[0; 0; -2] ∈ [β]\] nên phương trình \[[β]\] có dạng:

\[4[x - 0] + 3[y - 0] + [z + 2] = 0\]

hay \[4x + 3y + z + 2 = 0\]

Bài 7 trang 92 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho điểm \[A[-1 ; 2 ; -3]\], vectơ \[\vec a= [6 ; -2 ; -3]\] và đường thẳng \[d\] có phương trình:

\[\left\{ \matrix{x = 1 + 3t \hfill \cr y = - 1 + 2t \hfill \cr

z = 3 - 5t. \hfill \cr} \right.\]

a] Viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] chứa điểm \[A\] và vuông góc với giá của \[\vec a\].

b] Tìm giao điểm của \[d\] và \[[α]\].

c] Viết phương trình đường thẳng \[∆\] đi qua điểm \[A\], vuông góc với giá của \[\vec a\] và cắt đường thẳng \[d\].

Giải

a] Mặt phẳng \[[α]\] vuông góc với giá của \[\vec a\] nhận \[\vec a\] làm vectơ pháp tuyến; \[[α]\] đi qua \[A[-1; 2; -3]\] có phương trình:

\[6[x + 1] - 2[y - 2] - 3[z + 3] = 0\] \[ \Leftrightarrow 6x - 2y - 3z + 1 = 0\]

b] Thay các biểu thức của \[x, y, z\] theo \[t\] trong phương trình tham số của \[∆\] vào phương trình \[[α]\] ta có:

\[6.[1 + 3t] - 2[-1 + 2t] - 3[3 - 5t] + 1 = 0\] \[ \Leftrightarrow t = 0\].

Từ đây ta tính được toạ độ giao điểm \[M\] của \[d\] và \[[α]\]: \[M[1; -1; 3]\].

c] Đường thẳng \[∆\] cần tìm chính là đường thẳng \[AM\] nhận vectơ \[\overrightarrow {AM} \] làm vectơ chỉ phương: \[\overrightarrow {AM} = [2; -3; 6]\]

Phương trình đường thẳng \[AM\]:

\[\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - 3t \hfill \cr

z = 3 + 6t \hfill \cr} \right.\]

Bài 8 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] tiếp xúc với mặt cầu

[S]: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 2y + 26z + 170 = 0\]

và song song với hai đường thẳng

\[d:\left\{ \matrix{x = - 5 + 2t \hfill \cr y = 1 - 3t \hfill \cr

z = - 13 + 2t \hfill \cr} \right.\]

\[d':\left\{ \matrix{x = - 7 + 3k \hfill \cr y = - 1 - 2k \hfill \cr

z = 8 \hfill \cr} \right.\]

Giải

Đường thẳng \[d\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [2; -3; 2]\]

\[d'\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {a'} = [3; -2; 0]\]

Mặt phẳng \[[α]\] song song với \[d\] và \[d'\] nhận vectơ \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right]\] làm vectơ pháp tuyến.

\[\overrightarrow n \] = [4; 6; 5]

Phương trình mặt phẳng \[[α]\] có dạng: \[4x + 6y + 5z + D = 0\]

Mặt cầu \[[S]\] có tâm \[I[5; -1; -13]\] và bán kính \[R = 5\]. Để \[[α]\] tiếp xúc với mặt cầu \[[S]\], ta phải có:

\[d[I, [α]] = R \Leftrightarrow {{\left| {4.5 + 6[ - 1] + 5[ - 13] + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {6^2} + {5^2}} }} = 5\]

\[ \Leftrightarrow \left| {D - 5} \right| = 5\sqrt {77} \]

Ta được hai mặt phẳng thoả mãn yêu cầu:

+] \[D - 51 = 5\sqrt{77}\] \[ \Rightarrow [{\alpha _1}]:4x + 6y + 5z + 51 + 5\sqrt {77} = 0\]

+] \[D - 51 = -5\sqrt{77}\] \[ \Rightarrow [{\alpha _2}]:4x + 6y + 5z + 51 - 5\sqrt {77} = 0\]

Giaibaitap.me

Page 10

Bài 9 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], tìm toạ độ điểm \[H\] là hình chiếu vuông góc của điểm \[M[ 1 ; -1 ; 2]\] trên mặt phẳng \[[α]: 2x - y + 2z +11 = 0\]

Giải

Điểm \[H\], hình chiếu vuông góc của điểm \[M\] trên mp \[[α]\] chính là giao điểm của đường thẳng \[∆\] đi qua \[M\] và vuông góc với \[[α]\]. Mặt phẳng \[[α]\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = [2; -1; 2]\].

Đường thẳng \[∆\] vuông góc với mp\[ [α]\] nhận \[\overrightarrow n \] làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của \[∆\]:

\[\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr

z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\]

Thay các biểu thức này vào phương trình \[mp [α]\], ta có:

\[2[1 + 2t] - [-1 - t] + 2[2 + 2t] + 11 = 0 \]

\[\Leftrightarrow t = -2\].

Từ đây ta được \[H[-3; 1; -2]\].

Bài 10 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], cho điểm \[M[2 ; 1 ; 0]\] và mặt phẳng \[[α]: x + 3y - z - 27 = 0\]. Tìm toạ độ điểm \[M'\] đối xứng với \[M\] qua \[[α]\].

Giải

Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] lên mặt phẳng \[[α]\] và \[M'\] là điểm đối xứng của \[M\] qua \[[α]\] thì \[H\] là trung điểm của đoạn thẳng \[MM'\]. Xét đường thẳng \[∆\] qua \[M\] và \[∆\] vuông góc với \[[α]\].

Phương trình \[∆\] có dạng:

\[\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = 1 + 3t \hfill \cr

z = - t \hfill \cr} \right.\]

Từ đây ta tìm được toạ độ điểm \[H\] là hình chiếu của \[M\] trên \[[α]\].

Thay các tọa độ \[x,y,z\] theo \[t\] từ phương trình \[\Delta\] và phương trình \[[\alpha]\] ta được:

\[2+t+3[1+3t]-[-t]-27=0\Rightarrow 11t=22\]

\[\Rightarrow t=2\]

\[\Rightarrow H[4; 7; -2]\]

\[M\] và \[M'\] đối xứng nhau qua \[[α]\] nên \[\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \]

Gọi \[[x, y, z]\] là toạ độ của \[M'\] ta có: \[\overrightarrow {MM'} = [x - 2; y - 1; z]\]; \[\overrightarrow {MH} = [2; 6; -2]\]

\[\overrightarrow {MM'} \]=\[2\overrightarrow {MH} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 2 = 2.2 \Rightarrow x = 6 \hfill \cr y - 1 = 2.6 \Rightarrow y = 13 \hfill \cr

z = 2.[ - 2] \Rightarrow z = - 4 \hfill \cr} \right.\]

\[ \Rightarrow M' [6; 13; -4]\]

Bài 11 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], viết phương trình đường thẳng \[∆\] vuông góc với mặt phẳng toạ độ \[[Oxz]\] và cắt hai đường thẳng

\[d:\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = - 4 + t \hfill \cr

z = 3 - t \hfill \cr} \right.\]

\[d':\left\{ \matrix{ x = 1 - 2k \hfill \cr y = - 3 + k \hfill \cr

z = 4 - 5k. \hfill \cr} \right.\]

Giải

Gọi \[M\] là điểm thuộc đường thẳng \[d\], toạ độ của \[M\] là \[M[ t; -4 + t; 3 - t]\]. \[N\] là điểm thuộc đường thẳng \[d'\], toạ độ của \[N\] là \[N[1 - 2k; -3 + k; 4 - 5k]\].

Ta có: \[\overrightarrow {MN}= [1 - 2k - t; 1 + k - t; 1 - 5k + 1]\]

Vì \[MN ⊥ [Oxz]\] nên \[MN ⊥ Ox\] và \[MN ⊥ Oz\]

\[Ox\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow i = [1; 0; 0]\];

\[Oz\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow j = [0; 0; 1]\].

\[MN ⊥ Ox\]

\[ \Leftrightarrow [1 - 2k - t].1 + [1 + k - t].0 + [1 - 5k + t].0\]

\[= 0\]

\[ \Leftrightarrow 1 - 2k - t = 0\] [1]

\[MN ⊥ Oz\]

\[ \Leftrightarrow [1 - 2k - t].0 + [1 + k - t].0 + [1 - 5k + t] = 0\] [2]

Từ [1] và [2] ta có hệ

\[\left\{ \matrix{ 1 - 2k - t = 0 \hfill \cr

1 - 5k + t = 0 \hfill \cr} \right.\]

Hệ này cho ta \[k = {2 \over 7}\]; t =\[{3 \over 7}\]

và được toạ độ của M\[\left[ {{3 \over 7}; - {{25} \over 7};{{18} \over 7}} \right]\] , N\[\left[ {{3 \over 7}; - {{19} \over 7};{{18} \over 7}} \right]\]

Từ đây ta có \[\overrightarrow {MN} = [0; 1; 0]\] và được phương trình đường thẳng \[MN\] là:

\[\left\{ \matrix{ x = {3 \over 7} \hfill \cr y = - {{25} \over 7} + t \hfill \cr

z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\]

Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12

Trong hệ toạ độ \[Oxyz\], tìm toạ độ điểm \[A'\] đối xứng với điểm \[A[1 ; -2 ; -5]\] qua đường thẳng \[∆\] có phương trình

\[\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr

z = 2t. \hfill \cr} \right.\]

Giải

Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên đường thẳng \[△\]. Khi đó \[H\] là trung điểm của \[AA'\].

Xét mặt phẳng \[[P]\] qua \[A\] và \[[P] ⊥ △\]. Khi đó \[H = [P] ⋂ △\].

Vì \[\overrightarrow u [2; -1; 2]\] là vectơ chỉ phương của \[△\] nên \[\overrightarrow u \] là vectơ pháp tuyến của \[[P]\]. Phương trình mặt phẳng \[[P]\] có dạng: \[2[x - 1] - [y + 2] + 2[z + 5] = 0\]

hay \[2x - y + 2z + 6 = 0\] [1]

Để tìm giao điểm \[H = [P] ⋂ △\]. Thay toạ độ \[x, y, z\] trong phương trình của \[△\] vào [1], ta có: \[2[1 + 2t] + [1 + t] + 4t + 6 = 0\]

\[ \Rightarrow 9t + 9 = 0\Rightarrow t = -1\] \[ \Rightarrow H[-1; 0; -2]\].

Từ đó ta tìm được \[A'[-3; 2; 1]\]

Giaibaitap.me

Page 11

Bài 1 trang 94 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho ba vectơ

\[\overrightarrow a = [ - 1;1;0]\], \[\overrightarrow b = [1;1;0]\] và \[\overrightarrow c = [1;1;1]\]

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

[A] \[\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \]; [B] \[\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 \];

[C] \[\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \]; [D] \[\overrightarrow b \bot \overrightarrow c \].

Giải

Chọn [D] \[\overrightarrow b \bot \overrightarrow c \].

Bài 2 trang 94 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho ba vectơ

\[\overrightarrow a = [ - 1;1;0]\], \[\overrightarrow b = [1;1;0]\] và \[\overrightarrow c = [1;1;1]\].

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

[A] \[\overrightarrow a .\overrightarrow c = 1;\]

[B] \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] cùng phương;

[C] cos [\[\overrightarrow b \], \[\overrightarrow c \]]= \[{2 \over {\sqrt 6 }}\];

[D] \[\overrightarrow a \] + \[\overrightarrow b \] + \[\overrightarrow c \] = \[\overrightarrow 0 \]

Giải

Chọn [C] cos [\[\overrightarrow b \], \[\overrightarrow c \]]= \[{2 \over {\sqrt 6 }}\]

Bài 3 trang 94 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho ba vectơ

\[\overrightarrow a = [ - 1;1;0]\], \[\overrightarrow b = [1;1;0]\] và \[\overrightarrow c = [1;1;1]\]

Cho hình bình hành \[OADB\] có \[\overrightarrow {OA} \] = \[\overrightarrow a \], \[\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \] [\[O\] là gốc toạ độ]. Toạ độ của tâm hình bình hành \[OADB\] là:

[A] \[[0 ; 1 ; 0]\] [B] \[[1 ; 0 ; 0]\]

[C] \[[1 ; 0 ; 1]\] [D] \[[1 ; 1 ; 0]\].

Giải

Gọi tọa độ của \[D[x;y;z]\]

\[OADB\] là hình bình hành nên \[\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow a + \overrightarrow b=[0;2;0] \]

Gọi \[I\] là tâm của hình bình hành nên \[\vec{OI}={1\over2}\vec{OD}=[0;1;0]\]

Vậy \[I[0;1;0]\]

Chọn [A] \[[0 ; 1 ; 0]\].

Bài 4 trang 94 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 1]\] và \[D[1; 1; 1]\]

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

[A] Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;

[B] Tam giác ABD là tam giác đều ;

[C] \[AB ⊥ CD\] ;

[D] Tam giác \[BCD\] là tam giác vuông.

Giải

Ta có:

\[\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = [ - 1;1;0] \cr & \overrightarrow {CD} = [1;1;0] \cr

& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - 1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 \cr} \]

Chọn [D] Tam giác \[BCD\] là tam giác vuông.

Bài 5 trang 95 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 1]\] và \[D[1; 1; 1]\]

Gọi \[M, N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\]. Toạ độ điểm \[G\] là trung điểm của \[MN\] là:

[A] G \[\left[ {{1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3}} \right]\] ; [B] G \[\left[ {{1 \over 4};{1 \over 4};{1 \over 4}} \right]\] ;

[C] G \[\left[ {{2 \over 3};{2 \over 3};{2 \over 3}} \right]\] ; [D] G \[\left[ {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right]\].

Giải

Chọn [D] G \[\left[ {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right]\].

Bài 6 trang 95 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 1]\] và \[D[1; 1; 1]\]

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\] có bán kính là:

[A] \[{{\sqrt 3 } \over 2}\] ; [B] \[\sqrt2\] ;

[C] \[\sqrt3\]; [D] \[{3 \over 4}\] .

Giải

Phương trình tổng quát của mặt cầu là:

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]

Mặt cầu đi qua \[A,B,C,D\] nên ta có hệ:

\[\left\{ \matrix{ 1 - 2a + d = 0[1] \hfill \cr 1 - 2b + d = 0[2] \hfill \cr 1 - 2c + d = 0[3] \hfill \cr

3 - 2a - 2b - 2c + d = 0[4] \hfill \cr} \right.\]

Lấy [1]+[2]+[3]-[4] ta được: \[ \Rightarrow d = 0\]

Từ đây ta được: \[a = {1 \over 2},b = {1 \over 2},c = {1 \over 2}\]

\[{R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = {{\sqrt 3 } \over 2}\]

Chọn [A] \[{{\sqrt 3 } \over 2}\].

Bài 7 trang 95 SGK Hình học 12

Cho mặt phẳng \[[α]\] đi qua điểm \[M[0 ; 0 ; -1]\] và song song với giá của hai vectơ \[\overrightarrow a = \left[ {1; - 2;3} \right]\] và \[\overrightarrow b = [3 ; 0 ; 5]\].

Phương trình của mặt phẳng \[[α]\] là:

[A] \[5x - 2y - 3z - 21 = 0\] ;

[B] \[ - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\] ;

[C] \[10x - 4y - 6z + 21 = 0\] ;

[D] \[5x - 2y - 3z + 21 = 0\] .

Giải

Gọi \[\vec n\] là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[[\alpha]\] thì

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = [ - 10;4;6]\].

Phương trình của mặt phẳng \[[\alpha]\] là:

\[- 10[x - 0] + 4[y - 0] + 6[z + 1] = 0\]

\[\Leftrightarrow 10x + 4y + 6z + 6 = 0 \]

\[\Leftrightarrow - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\]

Chọn [B] \[ - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\].

Bài 8 trang 95 SGK Hình học 12

Cho ba điểm \[A [0 ; 2 ; 1], B[3; 0 ;1], C[1 ; 0 ; 0]\]. Phương trình mặt phẳng \[[ABC]\] là:

[A] \[2x - 3y - 4z +2 = 0\]

[B] \[2x + 3y - 4z - 2 = 0\]

[C] \[4x + 6y - 8z + 2 = 0\]

[D] \[2x - 3y - 4z + 1 = 0\].

Giải

\[\overrightarrow {AB} = [3; - 2;0],\overrightarrow {AC} = [1; - 2; - 1]\]

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[[ABC]\] là:

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = [2; - 3; - 4]\]

Phương trình mặt phẳng \[[ABC]\] là:

\[2[x - 0] + 3[y - 2] - 4[z - 1] = 0 \]

\[\Leftrightarrow 2x + 3y - 4z - 2 = 0\]

Chọn [B] \[2x + 3y - 4z - 2 = 0\].

Bài 9 trang 95 SGK Hình học 12

Gọi \[[α]\] là mặt phẳng cắt ba trục toạ độ tại \[3\] điểm \[M[8 ; 0 ; 0], N[0 ; -2 ; 0], P[0 ; 0 ; 4]\]. Phương trình của \[[α]\] là:

[A] \[{x \over 8} + {y \over { - 2}} + {z \over 4} = 0\];

[B] \[{x \over 4} + {y \over { - 1}} + {z \over 2} = 1\];

[C] \[x - 4y + 2z = 0\];

[D] \[x - 4y + 2z - 8 = 0\].

Giải

Phương trình mặt phẳng \[[\alpha]\] dưới dạng đoạn chắn là:

\[{x \over 8} + {y \over { - 2}} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow x - 4y + 2z - 8 = 0\]

Chọn [D] \[x - 4y + 2z - 8 = 0\].

Bài 10 trang 95 SGK Hình học 12

Cho ba mặt phẳng \[[α]\] \[x + y + 2z + 1 = 0\];

\[[β]\] \[x + y - z + 2 = 0\];

\[[γ]\] \[x - y + 5 = 0\].

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

[A] \[[α] ⊥ [β]\] ; [B] \[[γ] ⊥ [β]\];

\[[C] [α]// [γ]\] ; [D] \[[α] ⊥ [γ]\].

Giải

Chọn [C] \[[α] //[γ]\].

Bài 11 trang 96 SGK Hình học 12

Cho đường thẳng \[△\] đi qua điểm \[M[2 ; 0 ; -1]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [4 ; -6 ; 2]\]. Phương trình tham số của đường thẳng \[△\] là:

\[[A]\left\{ \matrix{ x = - 2 + 4t \hfill \cr y = - 6t \hfill \cr

z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\]

\[[B]\left\{ \matrix{ x = - 2 + 2t \hfill \cr y = - 3t \hfill \cr

z = 1 + t \hfill \cr} \right.\];

\[[C]\left\{ \matrix{ x = 2 + 2t \hfill \cr y = - 3t \hfill \cr

z = - 1 + t \hfill \cr} \right.\];

\[[D]\left\{ \matrix{ x = 4 + 2t \hfill \cr y = - 6 - 3t \hfill \cr

z = 2 + t \hfill \cr} \right.\].

Giải

Chọn [C] \[\left\{ \matrix{x = 2 + 2t \hfill \cr y = - 3t \hfill \cr

z = - 1 + t \hfill \cr} \right.\]

Bài 12 trang 96 SGK Hình học 12

Cho \[d\] là đường thẳng đi qua điểm \[A[1 ; 2 ; 3]\] và vuông góc với mặt phẳng \[[α]: 4x + 3y - 7z + 1 = 0\].

Phương trình tham số của d là:

[A]\[\left\{ \matrix{ x = - 1 + 4t \hfill \cr y = - 2 + 3t \hfill \cr

z = - 3 - 7t \hfill \cr} \right.\];

[B]\[\left\{ \matrix{ x = 1 + 4t \hfill \cr y = 2 + 3t \hfill \cr

z = 3 - 7t \hfill \cr} \right.\];

[C]\[\left\{ \matrix{ x = 1 + 3t \hfill \cr y = 2 - 4t \hfill \cr

z = 3 - 7t \hfill \cr} \right.\];

[D]\[\left\{ \matrix{ x = - 1 + 8t \hfill \cr y = - 2 + 6t \hfill \cr

z = - 3 - 14t. \hfill \cr} \right.\]

Giải

Đường thẳng \[d\] vuông góc với mặt phẳng \[\alpha\] nên có véc tơ chỉ phương là:

\[\vec u=[4;3;-7]\]

Phương trình tham số của \[d\] là:

\[\left\{ \matrix{x = 1 + 4t \hfill \cr y = 2 + 3t \hfill \cr

z = 3 - 7t \hfill \cr} \right.\]

Chọn [B]

Bài 13 trang 96 SGK Hình học 12

Cho hai đường thẳng

d1 :\[\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = 2 + 3t \hfill \cr

z = 3 + 4t \hfill \cr} \right.\]

và

d2:\[\left\{ \matrix{ x = 3 + 4k \hfill \cr y = 5 + 6k \hfill \cr

z = 7 + 8k. \hfill \cr} \right.\]

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

[A] d1⊥ d2 [B] d1 // d2

[C] d1 ≡ d2 [D] d1 và d2 chéo nhau.

Giải

Chọn [C] d1 ≡ d2

Bài 14 trang 97 SGK Hình học 12

Cho mặt phẳng \[[α] : 2x + y + 3z + 1= 0\] và đường thẳng \[d\] có phương trình tham số :

\[\left\{ \matrix{ x = - 3 + t \hfill \cr y = 2 - 2t \hfill \cr

z = 1. \hfill \cr} \right.\]

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

[A] \[d ⊥ [α]\] ;

[B] \[d\] cắt \[ [α]\] ;

[C] \[d // [α]\] ;

[D] \[d ⊂ [α]\].

Giải

Mặt phẳng \[[\alpha]\] có véc tơ pháp tuyến \[\vec n=[2;1;3]\]

Đường thẳng \[d\] có véc tơ chỉ phương \[\vec u=[1;-2;0]\]

\[\vec n.\vec u=0\]

Chọn \[M[-3;2;1]\in d\] thay tọa độ của \[M\] vào phương trình mặt phẳng \[[\alpha]\] ta được:ư

\[2.[-3]+2+3.1+1=0\] do đó \[M\in [\alpha]\]

Hay \[d ⊂ [α]\]

Chọn [D]

Bài 15 trang 97 SGK Hình học 12

Cho \[[S]\] là mặt cầu tâm \[I[2 ; 1 ; -1]\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[[α]\] có phương trình : \[2x - 2y - z + 3 = 0\].

Bán kính của \[[S]\] là:

[A] \[2\] ; [B] \[{2 \over 3}\]; [C] \[{4 \over 3}\]; [D] \[{2 \over 9}\] .

Giải

Bán kính của mặt cầu \[[S]\] là:

\[r = d[I;[\alpha ]] = {{\left| {2.2 - 2.1 - [ - 1] + 3} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{[ - 2]}^2} + {{[ - 1]}^2}} }} = {6 \over 3} = 2\]

Chọn [A] 2.

Giaibaitap.me

Page 12

Bài 1 trang 99 SGK Hình học 12

Cho lăng trụ lục giác đều \[ABCDEF.A'B'C'D'E'F'\], \[O\] và \[O'\] là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy, mặt phẳng \[[P]\] đi qua trung điểm của \[OO'\] và cắt các cạnh bên cúa lăng trụ. Chứng minh rằng \[[P]\] chia lăng trụ đã cho thành hai đa diện có thể tích bằng nhau.

Giải

Gọi \[I\] là trung điểm của \[OO'\] thì \[I\] là tâm đối xứng của lăng trụ. Giả sử mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[I\] và chia khối lăng trụ thành hai phần [H1] và [H2].

Lấy điểm \[M\] bất kì thuộc [H1] thì điểm \[M'\] đối xứng với \[M\] cũng nằm trong hình lăng trụ, và do đó \[M' ∈\] [H2] và ngược lại, một điểm \[N ∈\] [H2], lấy đối xứng qua \[I\] sẽ được \[N' ∈\] [H1].

Do đó hai hình [H1] và [H2] đối xứng với nhau qua tâm \[I\].

Vì vậy thể tích [H1] bằng thể tích [H2]

Nhận xét: Trong một hình bất kì trong không gian mà có tâm đối xứng, thì mặt phẳng đi qua tâm sẽ chia hình không gian đó thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Bài 2 trang 99 SGK Hình học 12

Cho khối lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh bằng \[a\]. Gọi \[E\] và \[F\] lần lượt là trung điểm của \[B'C'\] và \[C'D'\]. Mặt phẳng \[[AEF]\] chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện [H] và [H'] trong đó [H] là khối đa diện chứa đỉnh \[A'\]. Tính thể tích của [H].

Giải

Cách vẽ thiết diện:

Ta có \[EF // B'D'\] mà \[B'D' // BD\] nên từ \[A\] kẻ đường song song với \[BD\], cắt \[CD\] kéo dài tại \[D_1\] và \[CB\] kéo dài tại \[B_1\].

Nối \[B_1E\] cắt \[BB'\] tại \[G\]. Nối \[D_1F\] cắt \[DD'\] tại \[K\].

Thiết diện là ngũ giác \[AGEFK\].

Hình [H] là khối \[AGEFK.A'B'D'\].

Theo giả thiết \[E\] là trung điểm của \[B'C'\]; \[F\] là trung điểm của \[C'D'\], ta có

\[BB_1= BC = a = 2B'E\] \[ \Rightarrow BG = 2GB' = {2 \over 3}a\]

Từ đó \[{V_{[A.B{B_1}G]}} = {1 \over 3}{S_{\Delta B{B_1}G}}.AB = {1 \over 9}{a^3} = {V_1}\]

\[{V_{[A.D{D_1}K]}} = {1 \over 3}.{S_{\Delta D{D_1}K}}.AD = {1 \over 9}{a^3} = {V_2}\]

Ta có \[{S_{\Delta C{B_1}{D_1}}} = {1 \over 2}C{B_1}.C{D_1} = 2{a^2}\];

\[{S_{\Delta EC'F}} = {1 \over 2}.C'E.C'F = {{{a^2}} \over 8}\]

Chiều cao hình chóp cụt \[CB_1D_1.C'EF \]là \[CC' = a\]

\[{V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} = {1 \over 3}a\left[ {2{a^2} + {{{a^2}} \over 8} + {{{a^2}} \over 2}} \right] = {{7{a^3}} \over 8}\]

Thể tích của khối [H'] bằng:

\[{V_{[H']}} = {V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} - [{V_1} + {V_2}] = {7 \over 8}{a^3} - {2 \over 9}{a^3} \]

\[= {{47} \over {72}}{a^3}\]

Từ đó thể tích của khối [H] bằng:

\[{V_{[H]}} = \]\[V\]lập phương - \[V\][H'] = a3 - \[{{47} \over {72}}{a^3} = {{25} \over {72}}{a^3}\]

Bài 3 trang 99 SGK Hình học 12

Cho mặt cầu \[[S]\] tâm \[O\] bán kính \[r\]. Hình nón có đường tròn đáy \[[C]\] và đỉnh \[I\] đều thuộc \[[S]\] được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu \[[S]\]. Gọi \[h\] là chiều cao của hình nón đó.

a] Tính thể tích của hình nón theo \[r\] và \[h\].

b] Xác định \[h\] để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Giải

a] Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó \[AH\] là bán kính đáy hình nón, \[SH\] là chiều cao hình nón \[SH = h\], \[SS'\] là đường kính hình cầu \[SS' = 2r\].

Tam giác \[SAS'\] vuông tại đỉnh \[A\], và \[AH\] là đường cao nên:

\[AH^2= SH.S'H\] \[ \Rightarrow AH^2 = h[2r - h]\]

\[V\]nón = \[{1 \over 3}\pi .A{H^2}.SH \Rightarrow V\]nón = \[{1 \over 3}\pi {h^2}[2r - h]\]

b] Ta có:

\[V\]nón max \[ \Leftrightarrow \] \[2V\]nón = \[{\pi \over 3}.{h^2}[4r - 2h]\] lớn nhất.

Ta có \[h^2[4r - 2h] = h.h.[4r - 2h]\]\[ \le {\left[ {{{h + h + 4r - 2h} \over 3}} \right]^3} = {\left[ {{{4r} \over 3}} \right]^3}\]

Dấu bằng xảy ra thì \[V\]nón lớn nhất.

Khi đó \[h = 4r - 2h\] \[ \Rightarrow h = {4 \over 3}r\]

và \[V\]nón max = \[{\pi \over 6}{\left[ {{{4r} \over 3}} \right]^3} = {{32} \over {81}}\pi {r^3}\]

Bài 4 trang 99 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai điểm \[A[1 ; 2 ;-1], B[7 ; -2 ; 3]\] và đường thẳng \[d\] có phương trình:

\[\left\{ \matrix{x = - 1 + 3t \hfill \cr y = 2 - 2t \hfill \cr

z = 2 + 2t. \hfill \cr} \right.\]

a] Chứng minh rằng hai đường thẳng \[d\] và \[AB\] cùng nằm trong một mặt phẳng.

b] Tìm điểm \[I\] trên \[d\] sao cho \[AI + BI\] nhỏ nhất.

Giải

a] Đường thẳng \[AB\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {AB} =[6; -4; 4]\]

Đường thẳng \[[d]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [3; -2; 2]\]

Xét vectơ

\[\overrightarrow n = \left[ {\left| \matrix{- 4 \hfill \cr - 2 \hfill \cr} \right.} \right.\]\[\left. \matrix{4 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{4 \hfill \cr 2 \hfill \cr} \right.\]\[\left. \matrix{6 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{6 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right.\]\[\left. {\left. \matrix{- 4 \hfill \cr

- 2 \hfill \cr} \right|} \right]\] = \[[ 0; 0; 0]\] \[ \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \] Hai đường thẳng \[[d]\] và \[AB\] cùng thuộc một mặt phẳng. Ta lại có:

\[\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow a \] và \[A ∉ [d]\]

\[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow a \] cùng phương \[ \Rightarrow AB\] và \[[d]\] song song với nhau.

b] Gọi \[A'\] là điểm đối xứng của điểm \[A\] qua phép đối xứng qua đường thẳng \[d\] thì điểm \[I\] cần tìm là giao điểm của đường thẳng \[A'B\] và đường thẳng \[d\].

Trong câu a] ta chứng minh được \[AB // d\], từ đó suy ra \[I\] chính là giao điểm của đường thẳng \[d\] với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\] thì \[M[4; 0; 1]\].

Phương trình mặt phẳng trung trực của \[AB\]:

\[3[x - 4] - 2[y - 0] + 2[z - 1] = 0\] \[ \Rightarrow 3x - 2y + 2z - 14 = 0\]

Phương trình tham số của \[[d]\]:\[\left\{ \matrix{x = - 1 + 3t \hfill \cr y = 2 - 2t \hfill \cr

z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\]

Giá trị tham số ứng với giao điểm \[I \]của \[[d]\] và mặt phẳng trung trực của \[AB\] là nghiệm của phương trình:

\[3[ -1 + 3t] - 2[2 - 2t] + 2[2 + 2t] - 14 = 0\] \[ \Rightarrow t = 1\]

Từ đây ta được \[I [2; 0; 4]\]

Giaibaitap.me

Page 13

Bài 5 trang 99 SGK Hình học 12

Cho tứ diện \[ABCD\] có cạnh \[AD\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\]. Biết rằng \[AC = AD = 4 cm\], \[AB = 3 cm, BC = 5 cm\].

a] Tính thể tích tứ diện \[ABCD\].

b] Tính khoảng cách từ điểm \[A\] tới mặt phẳng \[[BCD]\].

Giải

Chọn hệ toạ độ gốc là điểm \[A\], các đường thẳng \[AB, AC, AD\] theo thứ tự là các trục \[Ox, Oy, Oz\].

Ta có: \[A[0; 0; 0], B[3; 0; 0]\]

\[C[0; 4; 0], D[0; 0; 4]\]

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [3; 0; 0] \Rightarrow AB = 3\]

\[\overrightarrow {AC} = [0; 4; 0] \Rightarrow AC = 4\]

\[\overrightarrow {AD} = [0; 0; 4] \Rightarrow AD = 4\]

\[V_{ABCD}\] = \[{1 \over 6}AB.AC.AD = 8 [cm^3]\]

b] Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng \[[BDC]\] là:

\[{x \over 3} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y + 3z - 12 = 0\]

Từ đây ta có: \[d[A, [BDC]] ={{\left| {12} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2} + {4^2}} }} = {{12} \over {\sqrt {34} }}\]

Bài 6 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt cầu \[[S]\] có phương trình \[{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}4{a^{2}}\left[ {a > 0} \right]\].

a] Tính diện tích mặt cầu \[[S]\] và thể tích của khối cầu tương ứng.

b] Mặt cầu \[[S]\] cắt mặt phẳng \[[Oxy]\] theo đường tròn \[[C]\]. Xác định tâm và bán kính của \[[C]\].

c] Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận \[[C]\] làm đáy và có chiều cao là \[a\sqrt3\]. Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

Giải

a] Mặt cầu \[[S]\] có tâm là gốc toạ độ \[O\] và bán kính \[R = 2a\] nên có

\[S = 16πa^2\] ; \[V ={{32\pi {a^2}} \over 3}\]

b] Phương trình đường tròn \[[C]\], giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng \[Oxy\] là:\[\left\{ \matrix{{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4{a^2} \hfill \cr

z = 0 \hfill \cr} \right.\]

Từ đây suy ra mặt phẳng \[z = 0\] cắt mặt cầu theo đường tròn \[[C]\] có tâm là gốc toạ độ \[O\] và bán kính là \[2a\].

c] Hình trụ có đáy là đường tròn \[[C]\] và chiều cao \[a\sqrt3\] có:

\[S_{xq} = 2π.[2a].a\sqrt3\] \[ \Rightarrow S_{xq}= 4πa^2\sqrt3\]

\[V = π[2a]^2.a\sqrt3\] \[ \Rightarrow V = 4πa^3\sqrt3\]

Bài 7 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình

d1:\[\left\{ \matrix{x = 1 - t \hfill \cr y = t \hfill \cr

z = - t \hfill \cr} \right.\] và d2:\[\left\{ \matrix{

x = 2k \hfill \cr y = - 1 + k \hfill \cr

z = k. \hfill \cr} \right.\]

a] Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.

b] Viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] chứa d1 và song song với d2.

Giải

a] [d1] đi qua điểm \[M[1; 0; 0]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [-1; 1; -1]\]

[d2] đi qua điểm \[M'[0; -1; 0]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {a'} = [2; 1; 1]\]

Vì \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow {a'} \] không cùng phương nên d1 và d2 có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. Xét giao của d1 và d2:\[\left\{ \matrix{1 - t = 2k \hfill \cr t = - 1 + k \hfill \cr

- 1 = k \hfill \cr} \right.\], hệ vô nghiệm

do đó d1 và d2 không cắt nhau. Từ đó suy ra d1 và d2 chéo nhau.

b] Mặt phẳng \[[α]\] chứa [d1] và song song với d2 thì \[[α]\] qua điểm \[M_1[1; 0; 0]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= [2; -1; -3]\]

Phương trình mặt phẳng \[[α]\] có dạng:

\[2[x - 1] - [y - 0] - 3[z - 0] = 0\]

hay \[2x - y - 3z - 2 = 0\]

Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho các điểm \[A[1; 0 ; -1], B[3 ; 4 ; -2], C[4 ; -1; 1], D[3 ; 0 ;3]\].

a] Chứng minh rằng \[A, B, C, D\] không đồng phẳng.

b] Viết phương trình mặt phẳng \[[ABC]\] và tính khoảng cách từ \[D\] đến \[[ABC]\].

c] Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\].

d] Tính thể tích tứ diện \[ABCD\].

Giải

a] Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [2; 4; 3]\].

Phương trình tham số của đường thẳng \[AB\]:

\[\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = 4t \hfill \cr

z = - 1 + 3t \hfill \cr} \right.\]

\[\overrightarrow {CD} = [-1; 1; 2]\]. Phương trình tham số của \[CD\]:

\[\left\{ \matrix{x = 4 - k \hfill \cr y = - 1 + k \hfill \cr

z = 1 + 2k \hfill \cr} \right.\]

Do \[\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {CD} \] nên hai đường thẳng \[AB, CD\] không cùng phương, chúng cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ:

\[\left\{ \matrix{1 + 3t = 4 - t'[1] \hfill \cr 4t = - 1 + t'[2] \hfill \cr

- 1 + 3t = 1 + 2t'[3] \hfill \cr} \right.\]

Từ hai phương trình đầu, ta có: \[t = {2 \over 7}\]; \[t' = {{15} \over 7}\]

Hai giá trị này không thoả mãn phương trình [3] nên hệ vô nghiệm, suy ra \[AB\] và \[CD\] không cắt nhau.

Vậy \[AB\] và \[CD\] là hai đường thẳng chéo nhau hay bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng.

b] Ta có \[\overrightarrow {AB} = [2; 4; -1]\], \[\overrightarrow {AC} = [3; -1; 2]\]

Gọi \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[[ABC]\]

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = [7; -7; -14]\]

phương trình mp \[[ABC]\]: \[7[x - 1] - 7[y - 0] -14[z + 1] = 0\]

\[7x - 7y -14z - 21 = 0 \Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0\].

\[d[D, [ABC]]\] =\[{{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{[ - 2]}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \]

c] Phương trình tổng quát của mặt cầu:

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0\]

Mặt cầu đi qua \[A[1; 0; -1]\] ta có:

\[{1^2} + {0^2} + {[ - 1]^2} + 2A - 2C + D = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0 \] [1]

Tương tự, mặt cầu đi qua \[B, C, D\] cho ta các phương trình:

\[2A + 8B - 2C + D + 18 = 0 \] [2]

\[4A + 8B + 6C + D + 29 = 0 \] [3]

\[4A + 4B - 2C + D + 9 = 0 \] [4]

Hệ bốn phương trình [1], [2], [3], [4] cho ta: \[A = 3; B = 2; C = {1 \over 2}; D = 3\]. Ta được tâm của mặt cầu \[I\]\[\left[ { - 3; - 2; - {1 \over 2}} \right]\] và bán kính:

\[R = 3^2+ 2^2 + {\left[ {{1 \over 2}} \right]^2} - 3 = {{41} \over 4} \Rightarrow R = {{\sqrt {41} } \over 2}\]

Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm \[A, B, C, D\] là:

\[[x - 3]^2 + [y - 2]^2 + {\left[ {z - {1 \over 2}} \right]^2} = {{41} \over 4}\]

d] Ta có \[\overrightarrow {AB} = [2; 4; -1]\] \[ \Rightarrow AB^2= 4 + 16 + 1 = 21\]\[ \Rightarrow AB = \sqrt {21} \]

\[\overrightarrow {AC} = [3; -1; 2]\] \[ \Rightarrow AC^2 = 9 + 1 + 4 = 14\]\[ \Rightarrow AC = \sqrt {14} \]

Xét \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 2.3 + 4.[-1] + [-1].2 = 0\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \]

Tam giác \[ABC\] vuông tại đỉnh \[A\], có diện tích:

\[{S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}\sqrt {21} .\sqrt {14} \]

Thể tích tứ diện \[ABCD\]:

\[{V_{ABCD}} = {1 \over 3}.{S_{ABC}}.DH = {1 \over 3}.{1 \over 2}.\sqrt {21} .\sqrt {14} .\sqrt 6 = 7\] [Đvdt]

Giaibaitap.me

Page 14

Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[2 ; 4 ; -1], B[1 ; 4 ; -1], C[2 ; 4; 3], D[2 ; 2 ; -1]\].

a] Chứng minh rằng các đường thẳng \[AB, AC, AD\] vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện \[ABCD\].

b] Viết phương trình mặt cầu \[[S]\] đi qua bốn điểm \[A, B, C, D\].

c] Viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] tiếp xúc với mặt cầu \[[S]\] và song song với mặt phẳng \[[ABD]\].

Giải

a] Ta xét các tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]; \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \]; \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \]

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [-1; 0; 0]\], \[\overrightarrow {AC} = [0; 0; 4]\], \[\overrightarrow {AD} = [0; 2; 0]\]

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = [-1].0 + 0.0 + 0.4 = 0\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \]

Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

Ta có: \[V_{ABCD}\] =\[{1 \over 3}.{1 \over 2}.AB.AC.AD\]

Ta tính được: \[AB = 1; AC = 4; AD = 2\]

\[ \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}.1.4.2 = {4 \over 3}\][đtdt]

b] Gọi \[I[a; b; c]\] là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\].

\[IA = IB = IC\] \[ \Rightarrow I\] nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ACD\]. Tam giác \[ACD\] vuông tại đỉnh \[A\] nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ACD\] là đường thẳng vuông góc với mp \[[ACD]\] và đi qua trung điểm \[M\] của cạnh huyền \[CD\].

Như vậy \[MI // AB\] [1]

Ta lại có \[IA = IB\]. Gọi \[P\] là trung điểm của \[AB\], ta có:

\[MI = AP\] = \[{1 \over 2}AB\] [2]

Từ [1] và [2], suy ra \[\overrightarrow {MI} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \]

Với \[C [2; 4; 3], A [2; 4; -1]\] \[ \Rightarrow M [2; 3; 1]\]

\[\overrightarrow {MI}= [a - 2; b - 3; c - 1]\]; \[\overrightarrow {AB} = [-1; 0; 0] \]

\[\left\{ \matrix{a - 2 = {1 \over 2}[ - 1] \Rightarrow a = {3 \over 2} \hfill \cr b - 3 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr

c - 1 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow c = 1 \hfill \cr} \right.\]

Tâm \[I\] của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\] là \[I\]\[\left[ {{3 \over 2};3;1} \right]\]

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\] là \[r\] thì:

\[r^2 = IA^2\] =\[{\left[ {2 - {3 \over 2}} \right]^2} + {[4 - 3]^2} + {[ - 1 - 1]^2} = {{21} \over 4}\]

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\]:

\[{\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} + {[y - 3]^2} + {[z - 1]^2} = {{21} \over 4}\]

c] Ta cũng có \[AC ⊥ [ABD]\]. Mặt phẳng \[[α]\] song song với mặt phẳng \[[ABD]\] nên nhận \[\overrightarrow {AC} \] làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \[\overrightarrow {AC} = [0; 0; 4]\] nên phương trình mặt phẳng \[[α]\] có dạng \[z + D = 0\].

Khoảng cách từ tâm \[I\] của mặt cầu đến mặt phẳng \[[α]\] là:

\[d[I,[α]] ={{\left| {1 + D} \right|} \over 1} = \left| {1 + D} \right|\]

Để mặt phẳng \[[α]\] tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:

\[d[I,[α]] = r \Rightarrow \left| {1 + D} \right| = {{\sqrt {21} } \over 2}\]

Ta có hai mặt phẳng:

[1] \[1 + D ={{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\]

\[\left[ {{\alpha _1}} \right]:z + {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\]

[2] \[1 + D = - {{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1\]

\[\left[ {{\alpha _2}} \right]:z - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0\]

Bài 10 trang 100 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho đường thẳng \[d\]:

\[\left\{ \matrix{x = 1 - 2t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr

z = 3 - t \hfill \cr} \right.\]và mặt phẳng \[[α] : 2x + y + z = 0\].

a] Tìm toạ độ giao điểm \[A\] của \[d\] và \[[α]\].

b] Viết phương trình mặt phẳng \[[β]\] qua \[A\] và vuông góc với \[ d\].

Giải

Thay các biểu thức theo \[t\] của \[x, y, z\] trong phương trình tham số của \[[d]\] vào phương trình của mặt phẳng \[[α]\], ta có:

\[2[1 - 2t] + [2 + t] + [3 - t] = 0 \Rightarrow t = {7 \over 4}\]

Từ đây, ta có toạ độ giao điểm \[A\] của \[[d]\] và \[[α]\]

\[\left\{ \matrix{x = 1 - 2.{7 \over 4} = - {{10} \over 4} \hfill \cr y = 2 + {7 \over 4} = {{15} \over 4} \hfill \cr

z = 3 - {7 \over 4} = {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\]\[ \Rightarrow A\left[ { - {{10} \over 4};{{15} \over 4};{5 \over 4}} \right]\]

b] Đường thẳng \[[d]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [-2; 1; -1]\]. Mặt phẳng \[[β]\] vuông góc với \[[d]\], nhận \[\overrightarrow a \] làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình của \[[β]\] là:

\[ - 2\left[ {x + {{10} \over 4}} \right] + 1.\left[ {y - {{15} \over 4}} \right] - 1.\left[ {z - {5 \over 4}} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4x - 2y + 2z + 15 = 0\]

Bài 11 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho các điểm \[A[-1 ; 2 ; 0], B[-3 ; 0 ; 2], C[1 ; 2 ; 3], D[0 ; 3 ;-2]\].

a] Viết phương trình mặt phẳng \[[ABC]\] và phương trình tham số của đường thẳng \[AD\].

b] Viết phương trình mặt phẳng \[[α]\] chứa \[AD\] và song song với \[BC\].

Giải

a] Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [-2; -2; 2]\], \[\overrightarrow {AC} = [2; 0; 3]\].

Gọi \[\vec n\] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[[ABC]\] thì:

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\]

\[\Rightarrow \overrightarrow n = [ - 6;10;4] =-2[3; -5; -2]\].

Chọn vectơ \[[3; -5; -2]\] là vectơ pháp tuyến của mp \[[ABC]\] và được phương trình:

\[3[x + 1] - 5[y - 2] - 2[z - 0] = 0\]

\[ \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 13 = 0\]

Đường thẳng \[AD\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {AD} = [1; 1; -2]\] và đi qua \[A[-1; 2; 0]\] có phương trình chính tắc là:

\[{{x + 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {z \over { - 2}}\]

b] Ta có: \[\overrightarrow {AD} = [1; 1; -2]\], \[\overrightarrow {BC} = [4; 2; 1]\]

Gọi \[\overrightarrow m \] là vectơ pháp tuyến của mp \[[α]\] thì:

\[\overrightarrow m = \left[ {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right]= [5; -9; -2]\]

\[[α]\] chứa \[AD\] nên chứa điểm \[A[-1; 2; 0]\]

Phương trình của \[[α]\] là:

\[5[x + 1] - 9[y - 2] - 2[z - 0] = 0\]

\[ \Leftrightarrow 5x - 9y - 2z + 23 = 0\].

Bài 12 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[3 ; -2 ; -2], B[3 ; 2 ; 0], C[0 ; 2 ; 1]\] và \[D[-1 ; 1 ; 2]\]

a] Viết phương trình mặt phẳng \[[BCD]\]. Suy ra \[ABCD\] là một tứ diện.

b] Viết phương trình mặt cầu \[[S]\] tâm \[A\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[[BCD]\].

c] Tìm toạ độ tiếp điểm của \[[S]\] và mặt phẳng \[[BCD]\].

Giải

a] Ta có: \[\overrightarrow {BC} = [-3; 0; 1]\], \[\overrightarrow {BD} = [-4; -1; 2]\]

Gọi \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của mp \[[BCD]\] thì:

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = [1;2;3]\]

Mặt phẳng \[[BCD]\] đi qua \[B\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = [1; 2; 3]\] có phương trình:

\[1[x - 3] + 2[y - 2] + 3[z - 0] = 0\]

\[ \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0\]

Thay toạ độ điểm \[A\] vào phương trình của mp \[[BCD]\], ta có:

\[3 + 2[-2] + 3[-2] - 7 = -14 ≠ 0\]

Vậy \[A ∉ [BCD]\] \[ \Rightarrow \]bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng.

b] Mặt cầu tâm \[A\], tiếp xúc với mp \[[BCD]\] có bán kính bằng khoảng cách từ \[A\] đến mp \[[BCD]\]:

\[r = d [A,[BCD]]\] =\[{{\left| { - 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \]

Phương trình mặt cầu cần tìm:

\[[S] [x - 3]^2 + [y + 2]^2 + [z + 2]^2 = 14\]

c] Phương trình đường thẳng \[[d]\] đi qua \[A\] và vuông góc với mp \[[BCD]\] là:

\[\left\{ \matrix{x = 3 + t \hfill \cr y = - 2 + 2t \hfill \cr

z = - 2 + 3t \hfill \cr} \right.\]

Thay các biểu thực này vào phương trình của \[[BCD]\], ta có:

\[[3 + t] + 2[-2 + 2t] + 3[-2 + 3t] - 7 = 0 \]\[ \Leftrightarrow t = 1\]

Từ đây ta được toạ độ điểm \[H\], tiếp điểm của mặt cầu \[[S]\] và mp \[[BCD]\]:

\[\left\{ \matrix{x = 3 + t \Rightarrow x = 4 \hfill \cr y = - 2 + 2 \Rightarrow y = 0 \hfill \cr

z = - 2 + 3 \Rightarrow z = 1 \hfill \cr} \right.\]

\[ \Rightarrow \] \[ H[4; 0; 1]\]

Giaibaitap.me

Page 15

Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng:

d1:\[\left\{ \matrix{x = - 1 + 3t \hfill \cr y = 1 + 2t \hfill \cr

z = 3 - 2t \hfill \cr} \right.\] và d2 :\[\left\{ \matrix{

x = k \hfill \cr y = 1 + k \hfill \cr

z = - 3 + 2k. \hfill \cr} \right.\]

a] Chứng minh rằng d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.

b] Viết phương trình mặt phẳng đó.

Giải

a] Đường thẳng d1 đi qua điểm \[M_1[-1; 1; 3]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_1}} = [3;2; - 2]\]; đường thẳng d2 đi qua điểm \[M_2\]\[[0; 1; -3]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{a_2}} = [1; 1; 2]\].

Ta có \[\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= [6; -8; 1]\], \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = [1; 0; -6]\] và \[\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\]. \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\]

nên ba vectơ \[\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \] đồng phẳng.

Vậy hai đường thẳng d1, d2 nằm cùng một mặt phẳng.

b] Gọi \[[P]\] là mặt phẳng chứa d1 và d2.

Khi đó \[[P]\] qua điểm \[M_1 [-1; 1; 3]\] và có vectơ pháp tuyến

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= [6; -8; 1]\].

Phương trình mặt phẳng \[[P]\] có dạng:

\[6[x + 1] - 8[y - 1] + [z - 3] = 0\]

hay \[6x - 8y + z + 11 = 0\]

Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian cho ba điểm \[A, B, C\].

a] Xác định điểm \[G\] sao cho \[\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = 0.\]

b] Tìm tập hợp các điểm \[M\] sao cho \[MA^2 + 2MB^2 - 2MC^2 = k^2\], với \[k\] là hằng số.

Giải

a] Ta có

\[\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GA} +2[\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} ] = \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {CB} \]

Gọi \[D\] là điểm mà \[\overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {CB} \] tức là điểm \[B\] là trung điểm của \[CD\] thì \[G\] là đỉnh thứ tư của hình bình hành \[ACDG\].

b] Gọi \[G\] là điểm trong câu a]: \[\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \].

Ta có: \[M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}= {[\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} ]^2}\]

\[= M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} \];

\[M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {[\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} ]^2}\]

\[= M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} \];

\[M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = {[\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} ]^2} \]

\[= M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} \].

Từ đó \[MA^2 + MB^2 -2 MC^2 = k^2\]

\[ \Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2} \]

\[+ 2\overrightarrow {MG} [\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} ] = {k^2}\]

\[ \Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - [G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2}]\]

vì \[\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} - 2\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \].

Do vậy:

Nếu \[k^2 - [GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2] = r^2 > 0\] thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.

Nếu \[k^2 - [GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2] = r^2 =0\] thì tập hợp M chính là điểm G.

Nếu \[k^2 - [GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2] = r^2 < 0\] thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.

Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12

Cho hai đường thẳng chéo nhau

d :\[\left\{ \matrix{x = 2 - t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 1 - t \hfill \cr} \right.\] và \[d':\left\{ \matrix{x = 2 + 2k \hfill \cr y = k \hfill \cr

z = 1 + k. \hfill \cr} \right.\]

a] Viết phương trình các mặt phẳng \[[α]\] và \[[β]\] song song với nhau và lần lượt chứa \[d\] và \[d'\].

b] Lấy hai điểm \[M[2 ; -1 ; 1]\] và \[M'[2 ; 0 ; 1]\] lần lượt trên \[d\] và \[d'\]. Tính khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[[β]\] và khoảng cách từ \[M'\] đến mặt phẳng \[[α]\]. So sánh hai khoảng cách đó.

Giải

a] Mặt phẳng \[[α]\] chính là mặt phẳng chứa \[d\] và song song với \[d'\]

\[d\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [-1; 1; -1]\].

\[d'\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {a'} = [2; 1; 1]\]

Vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \] của \[[α]\] vuông góc với \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow {a'} \] nên:

\[\overrightarrow n = [1.1 - 1.[-1]; [-1].2 - 1.[-1]; [-1].1 - 2.1] \]

\[= [2; -1; -3]\]

Đường thẳng \[d\] chứa điểm \[A[2; -1; 1]\]. Mặt phẳng \[[α]\] chứa \[d\] nên chứa điểm \[A\]. Phương trình của \[[α]\]:

\[2[x - 2] - 1[y + 1] - 3[z - 1] = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2x - y - 3z - 2 = 0\]

Tương tự ta có \[[β]\]: \[ 2x - y - 3z - 1 = 0\]

b] Ta có: \[d [M,[β]]\] =\[{{\left| {2.2 - 1.[ - 1] - 3.1 - 2} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{[ - 1]}^2} + {{[ - 3]}^2}} }} = {1 \over {\sqrt {14} }}\]

Tương tự, ta có: \[d [M',[α]]\] = \[{1 \over {\sqrt {14} }}\]

\[\Rightarrow d[M,[β]] = d[M', [α]]\]

Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12

Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt phẳng \[[α]\] có phương trình \[4x + y + 2z + 1 = 0\] và mặt phẳng \[[β]\] có phương trình \[2x - 2y + z + 3 = 0\].

a] Chứng minh rằng \[[α]\] cắt \[[β]\].

b] Viết phương trình tham số của đường thẳng \[d\] là giao của \[[α]\] và \[[β]\].

c] Tìm điểm \[M'\] đối xứng với điểm \[M[4 ; 2 ; 1]\] qua mặt phẳng \[[α]\].

d] Tìm điểm \[N'\] đối xứng với điểm \[N[0 ; 2 ; 4]\] qua đường thẳng \[d\].

Giải

a] Mặt phẳng \[[α]\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = [4; 1; 2]\]

Mặt phẳng \[[β]\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {n'} = [2; -2; 1]\]

Vì \[{4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow n \] và \[\overrightarrow {n'} \] không cùng phương.

Suy ra \[[α]\] và \[[β]\] cắt nhau.

b] \[[α]\] cắt \[[β]\] nên \[\overrightarrow {{n_1}} \] và \[\overrightarrow {{n_2}} \] có giá vuông góc với đường thẳng \[d\], vì vậy vectơ \[\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= [5; 0; -10\]] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d\].

Ta có thể chọn vectơ \[\overrightarrow u = [1; 0; -2]\] làm vectơ chỉ phương.

Ta tìm một điểm nằm trên \[d\].

Xét hệ\[\left\{ \matrix{ 4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr

2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\]

Lấy điểm \[M_0[1; 1; -3] ∈ d\].

Phương trình tham số của \[d\] là:\[\left\{ \matrix{ x = 1 + s \hfill \cr y = 1 \hfill \cr

z = - 3 - 2s \hfill \cr} \right.\]

c] Mặt phẳng \[[α]\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = [4; 1; 2]\].

Đường thẳng \[∆\] đi qua \[M[4; 2; 1]\] và vuông góc với \[[α]\], nhận vectơ \[\overrightarrow n \] làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:

\[\left\{ \matrix{ x = 4 + 4t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr

z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\]

Trước hết ta tìm toạ độ hình chiếu \[H\] của \[M\] trên \[[α]\] bằng cách thay các biểu thức của \[x, y, z\] theo \[t\] vào phương trình của \[[α]\], ta có:

\[4[4 + 4t] + [2 + t] + 2[1 + 2t] + 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\]

Từ đây ta tính được \[H [0; 1; -1]\]

Gọi \[M' [x; y; z]\] là điểm đối xứng với \[M\] qua mp \[[α]\] thì \[\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \]:

\[\overrightarrow {MH} = [-4; -1; -2]\]

\[\overrightarrow {MM'} = [x - 4; y - 2; z - 1]\].

\[\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 4 = 2.[ - 4] \Rightarrow x = - 4 \hfill \cr y - 2 = 2.[ - 1] \Rightarrow y = 0 \hfill \cr

z - 1 = 2.[ - 2] \Rightarrow z = - 3 \hfill \cr} \right.\]

\[\Rightarrow M[ - 4;0; - 3]\]

d] Đường thẳng \[d\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [1; 0; -2]\].

Mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[N[0; 2; 4]\] và vuông góc với \[d\], nhận \[\overrightarrow a \] làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

\[1[x - 0] + 0[y - 2] - 2[z - 4] = 0\]

\[[P]\]: \[x - 2y + 8 = 0\]

Ta tìm giao điểm \[I\] của \[d\] và \[[P]\]. Ta có:

\[t - 2[-1 - 2t] + 8 = 0\]\[ \Leftrightarrow 5t + 10 = 0\Leftrightarrow t = -2\]

\[ \Leftrightarrow I[ -2; 1; 3]\]

\[N' [x; y; z]\] là điểm đối xứng của \[N\] qua \[d\] thì \[\overrightarrow {NN'} = 2\overrightarrow {NI} \]

\[\overrightarrow {NI} = [-2; -1; -1]\], \[\overrightarrow {NN'} = [x; y - 2; z - 4] \]

\[ \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = [ - 2].2 \hfill \cr y - 2 = [ - 1].2 \hfill \cr z - 4 = [ - 1].2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr

z = 2 \hfill \cr} \right.\]

\[\Rightarrow N'[ - 4;0;2]\]

Giaibaitap.me

Page 2

Page 3

Page 4

Page 5

Page 6

Page 7

Page 8

Page 9

Page 10

Page 11

Page 12

Page 13

Page 14

Page 15

Video liên quan

Bài Viết Liên Quan

Toplist mới

Bài mới nhất

Chủ Đề