Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho các hàm số sau :
- \[y = - {\sin ^2}x\]
- \[y = 3{\tan ^2}x + 1\]
- \[y = \sin x\cos x\]
- \[y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\]
Chứng minh rằng mỗi hàm số \[y = f[x]\] đó đều có tính chất :
\[f[x + kπ] = f[x]\] với \[k \in\mathbb Z\], \[x\] thuộc tập xác định của hàm số \[f\].
LG a
\[y = - {\sin ^2}x\]
Lời giải chi tiết:
Với \[k \in\mathbb Z\] ta có :
\[\begin{array}{l} f\left[ x \right] = - {\sin ^2}x\\ \= - \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{\cos 2x - 1}}{2}\\ \Rightarrow f\left[ {x + k\pi } \right]\\ \= \frac{{\cos \left[ {2\left[ {x + k\pi } \right]} \right] - 1}}{2}\\ \= \frac{{\cos \left[ {2x + k2\pi } \right] - 1}}{2}\\ \= \frac{{\cos 2x - 1}}{2}\\ \= f\left[ x \right] \end{array}\]
Quảng cáo
LG b
Lời giải chi tiết:
Với \[k \in\mathbb Z\] ta có :
\[\eqalign{ & f\left[ x \right] = 3{\tan ^2}x + 1 \cr & f\left[ {x + k\pi } \right] = 3{\tan ^2}\left[ {x + k\pi } \right] + 1 \cr&= 3{\tan ^2}x + 1 = f\left[ x \right] \cr} \]
LG c
\[y = \sin x\cos x\]
Lời giải chi tiết:
Với \[k \in\mathbb Z\] ta có :
\[f[x] = \sin x\cos x\]
\[\eqalign{ & f\left[ {x + k\pi } \right] = \sin \left[ {x + k\pi } \right].\cos \left[ {x + k\pi } \right] \cr&= {\left[ { - 1} \right]k}\sin x.{\left[ { - 1} \right]^k}\cos x \cr & = {\left[ { - 1} \right]{2k}}\sin x\cos x\cr&= \sin x\cos x = f\left[ x \right] \cr} \]
Cách khác:
\[\begin{array}{l} f\left[ x \right] = \sin x\cos x\\ \= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\\ \Rightarrow f\left[ {x + k\pi } \right]\\ \= \frac{1}{2}\sin \left[ {2\left[ {x + k\pi } \right]} \right]\\ \= \frac{1}{2}\sin \left[ {2x + k2\pi } \right]\\ \= \frac{1}{2}\sin 2x\\=f[x] \end{array}\]
LG d
\[y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\]
Lời giải chi tiết:
Với \[k \in\mathbb Z\] ta có :
\[\eqalign{ & f\left[ x \right] = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr & f\left[ {x + k\pi } \right] \cr&= \sin \left[ {x + k\pi } \right]\cos \left[ {x + k\pi } \right] \cr&+ {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left[ {2x + k2\pi } \right] \cr & = {\left[ { - 1} \right]^k}\sin x{\left[ { - 1} \right]^k}\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr&= \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = f\left[ x \right] \cr} \]
Cách khác:
\[\begin{array}{l} f\left[ x \right] = \sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ \= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ \= \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ \Rightarrow f\left[ {x + k\pi } \right]\\ \= \frac{1}{2}\sin \left[ {2\left[ {x + k\pi } \right]} \right] + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left[ {2\left[ {x + k\pi } \right]} \right]\\ \= \frac{1}{2}\sin \left[ {2x + k2\pi } \right] + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left[ {2x + k2\pi } \right]\\ \= \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ \= f\left[ x \right] \end{array}\]
Loigiaihay.com