Bài 7 trang 16 sgk toán 11 nâng cao năm 2024
|
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Cho các hàm số sau :
Chứng minh rằng mỗi hàm số \(y = f(x)\) đó đều có tính chất : \(f(x + kπ) = f(x)\) với \(k \in\mathbb Z\), \(x\) thuộc tập xác định của hàm số \(f\). LG a \(y = - {\sin ^2}x\) Lời giải chi tiết: Với \(k \in\mathbb Z\) ta có : \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = - {\sin ^2}x\\ \= - \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{\cos 2x - 1}}{2}\\ \Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\ \= \frac{{\cos \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right] - 1}}{2}\\ \= \frac{{\cos \left( {2x + k2\pi } \right) - 1}}{2}\\ \= \frac{{\cos 2x - 1}}{2}\\ \= f\left( x \right) \end{array}\) Quảng cáo LG b Lời giải chi tiết: Với \(k \in\mathbb Z\) ta có : \(\eqalign{ & f\left( x \right) = 3{\tan ^2}x + 1 \cr & f\left( {x + k\pi } \right) = 3{\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) + 1 \cr&= 3{\tan ^2}x + 1 = f\left( x \right) \cr} \) LG c \(y = \sin x\cos x\) Lời giải chi tiết: Với \(k \in\mathbb Z\) ta có : \(f(x) = \sin x\cos x\) \(\eqalign{ & f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right).\cos \left( {x + k\pi } \right) \cr&= {\left( { - 1} \right)k}\sin x.{\left( { - 1} \right)^k}\cos x \cr & = {\left( { - 1} \right){2k}}\sin x\cos x\cr&= \sin x\cos x = f\left( x \right) \cr} \) Cách khác: \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin x\cos x\\ \= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\\ \Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\ \= \frac{1}{2}\sin \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right]\\ \= \frac{1}{2}\sin \left( {2x + k2\pi } \right)\\ \= \frac{1}{2}\sin 2x\\=f(x) \end{array}\) LG d \(y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\) Lời giải chi tiết: Với \(k \in\mathbb Z\) ta có : \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr & f\left( {x + k\pi } \right) \cr&= \sin \left( {x + k\pi } \right)\cos \left( {x + k\pi } \right) \cr&+ {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right) \cr & = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x{\left( { - 1} \right)^k}\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr&= \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = f\left( x \right) \cr} \) Cách khác: \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ \= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ \= \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ \Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\ \= \frac{1}{2}\sin \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right] + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right]\\ \= \frac{1}{2}\sin \left( {2x + k2\pi } \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right)\\ \= \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ \= f\left( x \right) \end{array}\) Loigiaihay.com |
