Cho \[\overrightarrow{a}\], \[\overrightarrow{b}\] là hai vectơ khác\[\overrightarrow{0}\]. Khi nào có đẳng thức
LG a
\[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\] + \[\left | \overrightarrow{b} \right |\];
Phương pháp giải:
Với quy tắc ba điểm tùy ý \[A, \, \, B, \, \, C\] ta luôn có:
\[+ ]\;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \] [quy tắc ba điểm].
\[ + ]\;\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \] [quy tắc trừ].
Lời giải chi tiết:
Xét: \[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\] + \[\left | \overrightarrow{b} \right |\]
Giả sử hình bình hành \[ABCD\] có các kích thước \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow a ,\;\;\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} = \overrightarrow b .\]
Khi đó ta có: \[\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \]\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.\]
Lại có: \[\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| = a + b = AB + BC.\]
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\]\[ \Leftrightarrow AC = AB + BC\]
\[ \Leftrightarrow A, \, \, B,\, \, C\] thẳng hàng và \[B\] nằm giữa \[A, \, \, C\] hay \[\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \] cùng hướng.
Vậy \[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |\] khi hai vectơ \[\overrightarrow{a}, \, \, \overrightarrow{b}\] cùng hướng.
LG b
\[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\].
Phương pháp giải:
Với quy tắc ba điểm tùy ý \[A, \, \, B, \, \, C\] ta luôn có:
\[+ ]\;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \] [quy tắc ba điểm].
\[ + ]\;\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \] [quy tắc trừ].
Lời giải chi tiết:
Xét \[\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |.\]
Tương tự câu a ta có: \[ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.\]
Ta có: \[\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \] \[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB.\]
\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| \]\[\Leftrightarrow AC = DB.\]
Khi đó hình bình hành \[ABCD\] là hình chữ nhật \[\Rightarrow AD \perp AB\] hay \[\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}.\]
Xuất bản: 04/07/2018 - Cập nhật: 09/09/2022 - Tác giả: Thanh Long
Đáp án và lời giải chi tiết bài tập 7 trang 12 sách giáo khoa Toán Hình học lớp 10
Đề bài:
Đáp án bài 7 tr. 12 sgk Hình học lớp 10:
» Tham khảo thêm: Hướng dẫn giải bài 8 tr. 12 SGK Toán hình lớp 10
Bạn còn vấn đề gì băn khoăn?
Vui lòng cung cấp thêm thông tin để chúng tôi giúp bạn
Câu a:
Dựng \[\overrightarrow {OA} = \vec a;\,\overrightarrow {AB} = \vec b,\] khi đó \[\vec a + \vec b = \overrightarrow {OB} \]
\[ \Rightarrow \left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\]
Ta có: \[\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a} \right|\, + \left| {\vec b} \right|\]
\[ \Leftrightarrow OB = OA + AB \Leftrightarrow \vec a,\vec b\] cùng hướng.
Câu b:
Từ điểm O ta dựng \[\overrightarrow {OA} = \vec a,\overrightarrow {AB} = \vec b,\,\overrightarrow {AC} = - \vec b\] khi đó
\[\vec a + \vec b = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} \]
\[\vec a - \vec b = \vec a + [ - \vec b] = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OC} \]
Vì \[\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a - \vec b} \right|\,\]nên OB = OC.
Chú ý rằng B, A, C thẳng hàng nên OBC là tam giác cân với OA là trung tuyến suy ra OA là đường cao hay \[OA \bot AB\]
\[ \Leftrightarrow \vec a \bot \vec b\][Chú ý rằng trường hợp \[\vec a,\vec b\] cùng phương không thể xảy ra với đẳng thức trên].