Ở bài trước chúng ta đã xem xét cụ thể phương trình entanpi [nhiệt lượng]. sự liên hệ giữa nhiệt độ với chuyển động của khí thông qua các tương tác năng lượng [như sự thoát nhiệt, công kĩ thuật và sự thay đổi thế năng].còn những yếu tố như áp suất, khối lượng riêng chất khí chưa xem xét đến và không có trong phương trình nhiệt lượng. Như thế bây giờ chúng ta sẽ tìm dạng biểu diễn khác của phương trình năng lượng,Trong đó thể hiện mối liên hệ giữa vận tốc với áp suất,trọng lượng riêng của chất khí, còn các yếu tố như nhiệt độ sẽ không xuất hiện
Trong phương trình năng lượng dạng vi phân [5] có thể viết ở dạng sau:
[49]
Theo nguyên lý thứ nhất nhiệt động lực học, nhiệt lượng truyền vào cho hệ sẽ bằng sự thay đổi nội năng của hệ và công mà hệ sinh ra môi trường bên ngoài :
[50]
Lấy phương trình [49] trừ đi phương trình [50] thu được :
[51]
Với [thể tích tương ứng với 1 kg khí] thay vào phương trình [51] thu được:
[52]
Phương trình trên gọi là phương trình năng lượng dạng cơ học hay gọi còn gọi là phương trình lực sống đối với dòng đơn vị.
Sau khi lấy tích phân từng đại lượng trong phương trình [52] sẽ được :
[53]
Đây là dạng tổng quát của phương trình Bernoulli, biểu diễn sự liên hệ vận tốc qua hàm áp suất, khối lượng riêng, dưới tác động của công kĩ thuật [], sự thay đổi thế năng [] và công của lực ma sát[]. Trong khí động lực học chúng ta thường sử dụng công thức Bernoulli dạng rút gọn tương ứng với trường hợp khi không có công kĩ thuật và sự tiêu hao khí thủy lực , đồng thời thế năng dự trữ không thay đổi . khi đó phương trình Bernoulli viết dạng sau :
[54]
Thường phương trình Bernoulli được sử dụng ở các dạng khác nhau. Biến đổi tích phân sau thành hai phần
[55]
Khi đó từ phương trình [54] suy ra :
[56]
Trong biểu thức trên việc tính tích phân được chuyển về tính từ áp suất chân không tuyệt đối đến áp suất tương ứng với vận tốc đã cho, giá trị không đổi trên thu được khi quá trình giãn nỡ của khí tới chân không tuyệt đối, dòng khí trong hệ đạt vận tốc cực đại .
Vì thế công thức Bernoulli có thể viết dưới dạng
[57]
Trong các trường hợp ở trên khối lượng riêng trên đoạn của tia đơn vị trên thực tế có thể coi là không đổi, tích phân trong phương trình Bernouli bằng :
Công thức Bernoulli bây giờ trở thành dạng quen thuộc :
Hay :
[58]
Công thức này được áp dụng trong trường hợp chất lỏng [khí] lý tưởng không nén được [khối lượng riêng không đổi].
Trong một số trường hợp phương trình Bernoulli đối với chất lỏng lý tưởng không nén được được viết như sau :
[59]
ở phương trình này,chúng ta xem xét cho chất lỏng, và năng lượng tương ứng của chất lỏng bằng giá trị này được gọi là áp suất động.
Nếu không bỏ qua công kĩ thuật, sự mất mát thủy lực, và sự thay đổi thế năng thì công thức chung của phương trình Bernoulli cho chất lỏng không nén được có dạng :
[60]
ứng dụng một cách trực tiếp từ phương trình trên chúng ta có thể tính được ví dụ như công của nước làm quay bánh tua-bin giữa hai thiết diện 1 và 2 nếu như các đại lượng còn lại trong phương trình đã biết trước.
Để áp dụng phương trình Bernoulli cho khí nén được, chúng ta cần biết quá trình nhiệt động lực học thay đổi trạng thái của khí, tức cần biết sự phụ thuộc khối lượng riêng của khí theo áp suất nhằm tính giá trị tích phân .
Chúng ta xem xét những quá trình cơ bản của nhiệt động lực học sau.
Quá trình đẳng tích: là quá trình mà trong đó thể tích khí không đổi nên trọng lượng riêng cũng không đổi hay [61]
Quá trìn đẳng áp là quá trình mà trong đó áp suất không bị thay đổi tức nên [62]
Quá trình đẳng nhiệt :là quá trình mà trong đó nhiệt độ không bị thay đổi, áp dụng phương trình trạng thái của khí lý tưởng hay nên [63]
Quá trình đoạn nhiệt: là quá trình mà trong đó hệ không trao đổi nhiệt với bên ngoài,và bỏ qua công của lực ma sát . phương trình trạng thái trong hệ tuân theo phương trình hay từ đó suy ra nên :
[64]
Cuối cùng là quá trình đa biến : đây là quá trình mà nhiệt dung riêng của hệ không đổi. hay chỉ số đa biến , và phương trình trạng thái của hệ biểu diễn theo phương trình tương tự như tích phân phía trên thu được:
[65]
Từ các phương trình trên chúng ta nhận thấy rằng, nhiệt lượng được truyền vào hệ khí không được thể hiện trong phương trình Bernoulli, mặc dù chúng vẫn được xem xét đến trong quá trình tính các tích phân phía trên, việc tính các tích phân trên chúng ta đã sử dụng sự liên hệ có nghĩa chúng ta chú ý đến các yếu tố ảnh hưởng đến đặc tính của quá trình, mà trong các quá trình đó xảy ra sự thay đổi trạng thái khí của hệ.
Trong khí động lực học quá trình đoạn nhiệt có vai trò rất quan trọng, trong quá trình này không có các tương tác nhiệt [sự mất mát hay trao đổi nhiệt với môi trường ngoài] và công lực ma sát, vì những tính chất như trên nên trong quá trình đoạn nhiệt entropi của hệ khí không bị thay đổi, quá trình như trên gọi là quá trình entropi nhiệt động lực học lý tưởng,cũng cần chú ý rằng, không phải quá trình đoạn nhiệt nào cũng là quá trình lý tưởng, ví dụ trong phương trình hàm nhiệt lượng chúng ta chỉ ra rằng sự có mặt của ma sát không ảnh hưởng tới tính đoạn nhiệt của quá trình, nhưng một quá trình mà có ma sát thì không thể là một quá trình lý tưởng được, bởi vì khi đó entropi của hệ sẽ tăng. Nói một cách khác, tính đoạn nhiệt của một quá trình là quá trình chỉ đòi hỏi trong hệ không có sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài, chứ không đòi hỏi entropi của hệ không được thay đổi, tóm lại sự đoạn nhiệt kèm theo entropi không đổi chỉ xảy ra trong quá trình lý tưởng, nếu như bỏ qua sự thay đổi thế năng [],và không có công kĩ thuật [công cơ học] đông thời quá trình đoạn nhiệt là lý tưởng thì phương trình Bernoulli theo công thức [54] và [64] sẽ là :
[66]
Chúng ta xem xét trường hợp khi dòng khí bị hãm là lý tưởng, tức xác định , Entropi trong hệ được bảo toàn [do quá trình là quá trình đoạn nhiệt], khi đó vận tốc dòng khí giảm từ [đồng thời kí hiệu ] tới vận tốc , Áp dụng Phương trình Bernoulli[66] chúng ta thu được hệ thức.
[67]
suy ra :
Từ công thức [34] thì vận tốc âm thanh được xác định theo các tham số trạng thái như sau:
Thu được công thức tính áp suất hãm là một hàm số phụ thuộc theo biến áp suất []và số Mach [] :
[68]
ở đây gọi là áp suất toàn phần . và cũng giống như nhiệt độ hãm, áp suất toàn phần thuận tiện cho việc miêu tả các đặc tính của dòng khí, bởi vì nó liên hệ trực tiếp đến 2 yếu tố là : vận tốc và áp suất trong dòng, đại lượng thường được gọi là áp suất tĩnh. Như vậy tỉ lệ áp suất toàn phần và áp suất tĩnh là một hàm theo số Mach.
Ngoài ra công thức [68] cũng có thể thu được bằng cách biến đổi trực tiếp từ công thức [40] đối với nhiệt độ hãm như sau:
Sử dụng các hệ thức trong quá trình đoạn nhiệt lý tưởng :
[69]
[70]
Từ đó chúng ta cũng thu được công thức tính mật độ dòng khí hãm lý tưởng :
[71]
Sử dụng công thức [42], liên hệ giữa nhiệt độ hãm và vận tốc rút gọn và từ hệ thức [69] chúng ta thu được sự phụ thuộc của áp suất toàn phần theo vận tốc rút gọn là.
[72]
Cũng đối với mật độ dòng khí hãm lý tưởng thu được :
[73]
Trên thực tế, giá trị áp suất chính xác mà chúng ta thu được ở trên trong dòng khí hãm có thể khác so với áp suất toàn phần được xác định theo công thức [68], bởi vì trong thực tế các dòng khí hãm chảy qua thường không tuân theo quá trình đoạn nhiệt lý tưởng mà ít hoặc nhiều đều có sự mất mát khí thủy lực, ví dụ trong ống khuếch tán của dòng dưới vận tốc âm thanh, sự giảm vận tốc thường kèm theo việc hình thành dòng xoáy, tạo ra lực cản rất lớn trong luồng khí. Hay trong điều kiện khi các dòng trên vận tốc âm thanh bị hãm thì luôn hình thành sóng xung kích, việc hình thành sóng xung kích sẽ tạo ra một loại “ma sát sóng” đặc trưng, vì thế áp suất trong dòng khí hãm thường thấp hơn áp suất toàn phần của dòng khí chảy đến.
Trong mọi trường hợp nếu như trên đoạn 1—2 có sự xảy ra sự hao phí nào đó, thì nhất định áp suất toàn phần ở mặt cắt 2 sẽ thấp hơn áp suất toàn phần ở mặt cắt 1. tức:
Chúng ta đưa ra đại lượng không thứ nguyên là và được gọi là hệ số bảo toàn áp suất toàn phần :
[74]
Sự hao phí càng nhiều thì hệ số bảo toàn áp suất toàn phần càng nhỏ và áp suất toàn phần ở cuối đoạn quan sát của dòng sẽ càng thấp hơn.
[75]
Có thể đánh giá sự hao phí theo hiệu của áp suất toàn phần :
[76]
Ứng dụng phương trình Bernoulli trong phương pháp nén khí để xác định vận tốc dòng khí. Phương pháp nén khí bao gồm vòi áp suất tạo thành từ hai ống trụ 1 và 2 [xem hình 1.5]. Trước mũi ống 1 gồm lỗ hở [1] [với thiết diện mặt cắt vuông góc dòng khí vào] để không khí đi vào. Ống 2 gồm 2 lỗ bên mặt sườn [2] dọc theo dòng khí [xem hình1.5]. Khi vận tốc dòng khí đi vào dưới vận tốc âm thanh thì quá trình giảm dòng khí đi vào tại điểm tiếp xúc với ống [1] diễn ra mà không có sự hao hụt nào về năng lượng cũng như các đại lượng khác, bởi vì khi đó ma sát và sự hình thành dòng xoáy đều diễn ra ở mặt bên sườn [2]. Có nghĩa, sau khi dòng khí vượt qua vùng hãm toàn phần nằm ngay trước mũi vòi áp suất, thì trong ống [1] có áp suất bằng với áp suất toàn phần dòng khí đi vào, còn ở ống [2] nếu như các lỗ nơi khí đi vào [2] nằm khoảng xa vừa đủ so với mũi [1], thì áp suất trong ống [2] sẽ bằng với áp suất tĩnh của dòng khí. 2 ống [1] và [2] được đặt các áp kế để đo áp suất trong nó. Tỉ lệ áp suất đo được:
Sẽ giúp chúng ta tính được giá trị số Mach hoặc vận tốc rút gọn theo công thức [68] hoặc công thức [72]
Hình 1.5 : sơ đồ phương pháp nén khí
Số liệu tính toán theo các công thức trên chỉ đúng cho trường hợp vận tốc luồng khí đi vào bé hơn vận tốc âm thanh. Bởi vì khi vận tốc luồng khí đi vào lớn hơn vận tốc âm thanh thì quá trình hãm dòng ở phía trước vòi áp suất sẽ xuất hiện sóng xung kích, quá trình giao nhau giữa luồng khí đi vào và sóng xung kích sẽ gây ra hao phí thủy lực, do đó áp suất trong ống [1] lúc này hoàn toàn khác với áp suất toàn phần của dòng khí đi vào, và như vậy các công thức [68] và [72] sẽ không còn đúng nữa. Tuy vậy, khi vận tốc luồng khí đi vào lớn hơn vận tốc âm thanh , phương pháp nén khí bằng vòi áp suất như trên cũng có thể áp dụng để đo vận tốc luồng khí. Nhưng khi đó các công thức tính toán sẽ đặc biệt hơn, bởi vì cần phải tính đến sự ảnh hưởng của ma sát sóng. Những công thức như thế sẽ được đưa ra ở phần sau.
Như vậy quá trình hãm dòng đối với luồng khí có vận tốc lớn hơn vận tốc giới hạn thì các công thức [68] và [72] sẽ không được áp dụng.
Đối với dòng khí được gia tốc và khi đó vận tốc dòng lớn hơn vận tốc âm thanh thì các công thức [68] ,[72] có thể được áp dụng. bởi vì quá trình tăng vận tốc dòng diễn ra khi được gia tốc thì thường sự hao phí là không đáng kể[entropi được bảo toàn] đối với vùng có nghĩa rằng áp suất toàn phần trong dòng khí được gia tốc không bị thay đổi. Trong trường hợp riêng thì vận tốc của dòng khí thoát ra từ ống xả vẫn tính được theo công thức [68] và [72], khi đó trong ống, áp suất sẽ bằng áp suất toàn phần của dòng khí thoát ra còn áp suất khí phần mặt lỗ thoát ra của ống xả sẽ bằng với áp suất tĩnh
Từ công thức [68] chúng ta thu được :
[77]
Còn từ công thức [72] :
[78]
Từ đó có thể tính được vận tốc khí thoát ra :
với [79]
hoặc :
với : [80]
Không khó để nhận thấy rằng,việc tính vận tốc khí thoát ra theo vận tốc rút gọn ,thuận tiện hơn nhiều so với việc tính vận tốc thông qua số Mach. Giá trị vận tốc .trên thực tế nhỏ hơn một chút so với giá trị thu được theo các công thức [77] – [80] , bởi vì trên thực tế một số hao phí do ma sát là không thể tránh khỏi, tuy nhiên sai số tính toán theo các công thức trên thường không quá %.
Đồ thị sự phụ thuộc cho các trường hợp và thể hiển hình dưới :
Hình 1.6 : sự phụ thuộc vận tốc rút gọn theo tỉ lệ giữa áp suất toàn phần với áp suất tĩnh.
Bây giờ sử dụng công thức Bernoulli chúng ta khảo sát công kĩ thuật [cơ học] của máy nén và tua-bin. Trong máy nén thì áp suất toàn phần sẽ tăng : . Còn trong tua-bin sẽ giảm : .Tương ứng thì tỉ lệ áp suất trong máy nén sẽ lớn hơn 1 và trong tua-bin sẽ bé hơn 1. Để thấy rõ hơn nhận định trên chúng ta giã sữ rằng trong hệ không có công của lực ma sát [không mất hao phí do ma sát] và thế năng không thay đổi. khi đó áp suất trong máy thay đổi theo định luật bảo toàn entropi. Như vậy theo công thức Bernoulli có dạng:
[81]
máy nén hay tua-bin làm việc trong điều kiện giã sử như trên gọi là lý tưởng.
sử dụng đẳng thức [61], thay áp suất toàn phần ở trước và sau máy vào biểu thức [81], rút gọn vận tốc thu được :
Suy ra
Trong quá trình đoạn nhiệt lý tưởng có các đẳng thức sau :
Áp dụng các đẳng thức trên thế vào phương trình phía trên sau khi rút gọn chúng ta thu được phương trình như sau :
[82]
Như vậy trong trường hợp lý tưởng công kĩ thuật có thể được xác định theo sự thay đổi của áp suất và không cần biết vận tốc cụ thể trước và sau khi ra khỏi máy. Công của tua-bin có giá trị dương bởi vì [] .
còn công của máy nén sẽ có giá trị âm []
Độ lệch của công kĩ thuật so với quá trình đẳng emtropi lý tưởng trong máy thường được tính thông qua hệ số có ích. Trong trường hợp với máy nén thu được :
[83]
còn đối với tua-bin :
[84]
Tỉ số giữa áp suất toàn phần sau và trước của máy được gọi là mức độ tăng áp suất [đối với máy nén] hoặc mức độ giảm áp suất [đối với tua-bin]
[85]
Thì phương trình công kĩ thuật trong trường hợp lý tưởng cũng có thể viết theo công thức sau :
[86]