Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm duy nhất:. Câu 2.97 trang 86 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao – Bài 7. Phương trình mũ và lôgarit
Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a] \[{16^{x + 1}} + {4^{x – 1}} – 5m = 0;\]
b] \[2{\log _2}\left[ {x + 4} \right] = {\log _2}\left[ {mx} \right].\]
Giải
a] Đặt \[{4^x} = t[t > 0]\]. Bài toán trở thành:
Tìm m để phương trình \[16{t^2} + {t \over 4} – 5m = 0\] [1] có nghiệm dương duy nhất.
Điều kiện để [1] có nghiệm là \[\Delta = {1 \over {16}} + 320m \ge0\] hay \[m\ge – {1 \over {5120}}\] . Lại có \[{t_1} + {t_2} = – {1 \over {64}};{t_1}{t_2} = – {{5m} \over {16}}\] .
Nên [1] có nghiệm duy nhất khi \[ – {{5m} \over {16}} < 0\], tức là m > 0.
b] Bài toán quy về tìm m để hệ
\[\left\{ \matrix{{[x + 4]^2} = mx \hfill \cr x + 4 > 0 \hfill \cr} \right.\]
có nghiệm duy nhất
hay
Quảng cáo\[\left\{ \matrix{{x^2} + [8 – m]x + 16 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \hfill \cr x > – 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2\right] \hfill \cr} \right.\] có nghiệm duy nhất
tức là [1] có nghiệm duy nhất thỏa mãn \[x > – 4\].
Phương trình [1] có nghiệm khi\[\Delta = {m^2} – 16m \ge 0\] hay \[m \le 0\] hoặc \[m \ge 16\] .
Xét cả trường hợp :
+] \[m = 0\] thì [1] có nghiệm kép \[{x_1} = {x_2} = {{0 – 8} \over 2} = – 4\] [ không thỏa mãn \[x > – 4\] ].
+] \[m = 16\] thì [1] có nghiệm kép \[{x_1} = {x_2} = {{16 – 8} \over 2} = 4\] [ thỏa mãn \[x > – 4\] ].
+] \[m < 0\] hoặc \[m > 16\] thì [1] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}[{x_1} < {x_2}]\] .
Ta có : \[{x_1} 0 ⇔ x > 0
log2[5x-1]log4[2.5x-2]=m
⇔ log2[5x-1] 1/2 log2[2[5x-1]]=m
⇔ log2[5x-1][1+log2[5x-1]]=2m
⇔ log22 [5x-1]+log2[5x-1]=2m
Đặt log2[5x-1]=t. Khi đó phương trình đã cho trở thành t2+t-2m=0 [*]
Phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1 khi phương trình [*]có nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm thực x ≥ 1 thì m ≥ 3.
Bài 3: Tìm tham số thực m để phương trình
Hướng dẫn:
⇔ log[mx]=2log[x+1]
⇔ log[mx]=log[x+1]2
⇔ mx=[x+1]2 ⇔ x2+[2-m]x+1=0 [*]
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình [*]có một nghiệm thỏa mãn
TH1: phương trình [*] có hai nghiệm thỏa mãn -1 < x1 ≤ x2:
TH2: phương trình [*] có hai nghiệm thỏa mãn x1 < -1 < x2: af[-1] < 0 ⇔ m < 0.
Các giá trị m cần tìm
Quảng cáo
Bài 1: Tìm tham số thực m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt trong khoảng [4;6].
Khi đó phương trình đã cho trở thành: mt2-2[m2+1]t+m3+m+2 = 0 [*].
Yêu cầu bài toán tương đương với [*] phải có hai nghiệm phân biệt
Vậy 0 < m ≠ 1 thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm trong đoạn[1;3√3 ] .
Điều kiện: x > 0.
Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2+t-2m-2 = 0 ⇔ t2+t=2m+2 [*].
Yêu cầu bài toán tương đương với [*] phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1;2].
Xét hàm số f[t]=t2+t trên đoạn[1;2] . Ta có f'[t] = 2t+1 > 0, ∀t ∈ [1;2]
Để [*] có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1;2] thì 2 < 2m+2 < 6 ⇔ 0 < m < 2
Bài 3: Tìm tham số m để [m-4]log22 x-2[m-2]log2 x+m-1=0 có hai nghiệm thỏa 1 < x1 < 2 < x2
Đặt log2 x=t, phương trình đã cho trở thành:
Yêu cầu bài toán tương đương với [*] phải có hai nghiệm thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2.
Từ BBT ⇒ m > 4.
Bài 4: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm thực thuộc [32;+∞].
Đặt log2 x=t, phương trình đã cho trở thành:
Yêu cầu bài toán tương đương với [*] phải có hai nghiệm phân biệt t ≥ 5:
Bảng biến thiên
Căn cứ BBT suy ra giá trị cần tìm là m ∈ [1;√17/2].
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log2 [mx-x2 ]=2 vô nghiệm?
log2 mx-x2 = 2 ⇔ -x2+mx-4 = 0 [*]
Phương trình [*] vô nghiệm ⇔ Δ < 0 ⇔ m2-16 < 0 ⇔ -4 < m < 4
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log42 x+3log4 x+2m-1=0 có 2 nghiệm phân biệt?
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0 ⇔ 13-8m > 0 ⇔ m < 13/8
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-logarit.jsp