Tìm điều kiện xác định của phương trình lượng giác

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Tìm điều kiện xác định của phương trình, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Tìm điều kiện xác định của phương trình: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Điều kiện xác định của phương trình [gọi tắt là điều kiện của phương trình] là những điều kiện cần của ẩn x để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. Các dạng thường gặp: a] Điều kiện để biểu thức f[x] có nghĩa là f[x] ≥ 0; b] Điều kiện để biểu thức f[x] có nghĩa là f[x] khác 0; c] Điều kiện để biểu thức f[x] có nghĩa là f[x] > 0. BÀI TẬP DẠNG 1. Ví dụ 1. Tìm điều kiện của các phương trình sau: a] Điều kiện xác định của phương trình là x + 1 khác 0 ⇔ x khác −1. b] Điều kiện xác định của phương trình là x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5. c] Điều kiện xác định của phương trình là x + 2 > 0 ⇔ x > −2. d] Điều kiện xác định của phương trình là x + 1 khác 0. Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau: a] Điều kiện xác định của phương trình là: Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn cả hai điều kiện này. Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra nghiệm của các phương trình sau: Thay x vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là c] Điều kiện xác định của phương trình. Vậy không có x nào thỏa điều kiện xác định của phương trình nên phương trình vô nghiệm.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau: a] Điều kiện xác định của phương trình là: x2 + 2x + 4 ≥ 0 ⇔ [x + 1]2 + 3 ≥ 0 [luôn đúng]. Vậy phương trình xác định với mọi x ∈ R. b] Điều kiện xác định của phương trình là: x2 + 1 khác 0 [luôn đúng]. Vậy phương trình xác định với mọi x Vậy không tồn tại giá trị của x để phương trình xác định. Bài 9. Tìm m để phương trình x xác định trên [−1; 1]. Phương trình xác định khi x − m + 3 khác 0 ⇔ x khác m − 3. Để phương trình xác định trên [−1; 1] thì m − 3 thuộc [−1; 1] ⇔ m < 2, m ≥ 4. Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện đầu bài. Bài 10. Tìm giá trị của m để các phương trình sau xác định với mọi x. a] Điều kiện xác định của phương trình là: 2×2 + m ≥ 0. Để phương trình xác định với mọi x thì m ≥ 0.

A. Phương pháp giải

+ Hàm số y = 1/f[x] xác định khi f[x] ≠ 0 .

+ Hàm số y= √[f[x]] xác định khi f[x] ≥ 0.

+ Hàm số y = 1/√[f[x]] xác định khi f[x]> 0

+ Hàm số y= tan [f[x]] xác định khi cos[f[x]] ≠ 0 .

+ Hàm số y = cot [f[x]] xác định khi sin[ f[x]] ≠ 0

+ Hàm số y= tan[ f[x]]+cot⁡[g[x]] xác định khi cos⁡[f[x]] ≠ 0;sin⁡[ g[x]] ≠ 0

* Chú ý:

sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ k.π

cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π/2+kπ với k nguyên

sinx ≠ 1 ⇔ x ≠ π/2+k2π và sinx ≠ -1 ⇔ x ≠ -π/2+k2π

cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2π và cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π+k2π

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số 

 là:

A. R

B.

 .

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn C

Hàm số xác định khi cos⁡[x/2-π/4] ≠ 0

⇔ x/2-π/4  ≠  π/2+kπ ⇔ x/2  ≠  3π/4+kπ

⇔ x  ≠  3π/2+k2π,k ∈ Z

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số 

 .

A.Ta có 

 .

B .D =

C. Ta có 

 .

D.

Ta có 

 .

Lời giải:

Chọn C

Ta có 

 .

Vậy hàm số đã cho xác định khi 

 .

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số:

 .

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C

Hàm số đã cho xác định khi 

Mà cos18x ≥ -1 ⇒ 19cos18 x ≥ -19

⇒ 20+ 19cos18x ≥ 20-19= 1 > 0

Vậy 20+19cos18x > 0, ∀x ∈ R nên hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

Vậy hàm số đã cho xác định khi x ≠ π/2+k2π,k ∈ Z

Ví dụ 4: Hàm số nào sau đây có tập xác định là R?

A.

 .

B.

 .

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn D

Ta xét các phương án:

+ Với A thì hàm số xác định khi

+Với B thì hàm số xác định khi

+ Với C thì hàm số xác định khi tan2x xác định ≤ ⇒ cos2x ≠ 0

 .

+ Với D thì cos 4x ≥ -1 và sin2x ≥ -1 với ∀ x

⇒ cos4x + 5 > 0 và sin2x + 3 > 0với mọi x

⇒ 

Ví dụ 5: Hàm số nào sau đây có tập xác định khác với các hàm số còn lại?

A. y= tanx

B.

C.

D.

 .

Lời giải:

Chọn C

Với A thì hàm số xác định khi cosx khác 0

Với B thì hàm số xác định khi cosx khác 0

Với C thì hàm số xác định khi 

Từ đây ta chọn C do khác với A và B

Ví dụ 6: Hàm số 

 có tập xác định là:

A.

 .

B.D=R .

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn B

Hàm số đã cho xác định khi:

 đúng với mọi x

Do đó hàm số đã cho có tập xác định: D= R

Ví dụ 7: Chọn khẳng định đúng:

A. Hàm số 

 có tập xác định là các đoạn 

B. Hàm số 

 có tập xác định là các đoạn 

C. Hàm số 

 có tập xác định là các đoạn 

D. Hàm số 

 có tập xác định là các đoạn 

Lời giải:

Chọn C

Ta xét các phương án:

+ Với A thì hàm số  xác định khi 

Vậy A sai.

+ Với B thì hàm số  xác định khi 

Vậy B sai.

+ Với C thì hàm số xác định khi  xác định khi 

Vậy C đúng.

Ví dụ 8: Tập xác định của hàm số D.

 . là:

A. R\{π/6+kπ/2,k ∈ Z}.

B.

 .

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn A

Hàm số xác định khi sin⁡[2x-π/3] ≠ 0

⇔2x-π/3 ≠  kπ ⇔ 2x  ≠  π/3+ kπ

⇔ x  ≠  π/6+kπ/2,k ∈ Z

Ví dụ 9. Xét hai mệnh đề sau:

[I]: Các hàm số y= sin x và y= cosx có chung tập xác định là R

[II]: Các hàm số y= tanx và y= cotx có chung tập xác định là

.

 .

A. Chỉ [I] đúng. B. Chỉ [II] đúng. C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.

Lời giải:

Chọn A

+ Hai hàm số y= sinx và y= cosx có chung tập xác định là D = R

⇒ [I] đúng

+ Hàm số y= tanx tập xác định là 

 .

Và hàm số y= cot x tập xác định là 

 .

suy ra [II] sai

Ví dụ 10: Tập xác định của hàm số 

 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A

ĐK:

 .

Tập xác định .

 .

Ví dụ 11: Tập xác định của hàm số 

 . là:

A.

 .

B.

 .

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn A

Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi 

 .

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số 

 .

và 

 .

ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A

Ví dụ 12: Tìm tập xác định D của hàm số 

 .

A.

 .

B=R

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn B

Ta có 

 .

Vậy tập xác định D=R .

Ví dụ 13. Tìm tập xác định D của hàm số 

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C.

Hàm số xác định khi và chỉ khi 

Vậy tập xác định 

Ví dụ 14. Tìm tập xác định D của hàm số 

A.

 .

B.

 .

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số xác định khi và chỉ khi 

Vậy tập xác định 

 .

Ví dụ 15. Tập xác định của hàm số 

 . là

A. 

B. 

C.

D. 

Lời giải:

Chọn B

Ta có 

 .

Vậy hàm số đã cho xác định với mọi x∈R

Ví dụ 16: Cho hàm số 

 . Tập xác định:

A.

 .

B.

 .

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số xác định khi 

Ví dụ 17: Cho hàm số 

 .Hãy chỉ ra khoảng mà hàm số không xác định k∈Z

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B

Hàm số đã cho xác định khi 

 .

Khoảng 

 .

nên hàm số không xác định trong khoảng này

Ví dụ 18: Tập xác định của hàm số y= cosx/[cos3x.cos⁡[ x- π/3].cos⁡[ π/3+x] ] là:

A.

 .

B.

 .

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn A

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

cos⁡3x.cos⁡[ x- π/3].cos⁡[ π/3+x] ≠ 0

 .

Ví dụ 19: Tập xác định của hàm số 

 . là:

A.

 .

B.

 .

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn B

Hàm số  . xác định khi

 .

Vậy tập xác định của hàm số là: D=R\{kπ/2;k ∈ Z}.

Ví dụ 20: Tập xác định của hàm số 

 . là:

A.

 .

B.D=R.

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn A

Ta có -1 ≤ cos2x ≤ 1 nên -3 ≤ -3cos⁡2x ≤ 3

⇒ 2 ≤ 5-3cos2x ≤ 8. Vậy 5-3cos2x > 0 với mọi x. .

Mặt khác 

Hàm số đã cho xác định

Tập xác định 

Ví dụ 21. Hàm số 

 chỉ xác định khi:

A.x ≠ π/2 +kπ, k∈Z .

B.x=0 .

C.x≠  kπ,k∈Z .

D.x= k2π,k∈Z .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số đã cho xác định khi cos x - 1 ≥0, mà cos x - 1 ≤0,∀x∈R

Do vậy để hàm số xác định thì cosx=1, x= k2π,k∈Z

Ví dụ 22: Xét hai mệnh đề:

[I]: Các hàm số y= 1/sinx và y= cotx có chung tập xác định là 

 .

[II]:Các hàm số y= 1/cosx và y= tanx có chung tập xác định là 

 .

A. Chỉ [I] đúng.

B. Chỉ [II] đúng.

C. Cả hai đều sai.

D.Cả hai đều đúng.

Lời giải:

Chọn D

+ Ta thấy cả hai hàm số y= 1/sinx và y = cot x đều xác định khi sinx ≠ 0 .

+ Tương tự thì hai hàm số ở mệnh đề II đều xác định khi cosx ≠ 0 .

⇒ Cả hai mệnh đề đã cho là đúng .

Ví dụ 23: Cho hàm số 

 . Tập xác định của hàm số là:

A.

 .

B.

 .

C.

 .

D.

 .

Lời giải:

Chọn C

Hàm số xác định khi và chỉ khi: 

 .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Tìm tập xác định D của hàm số y=1/[sinx-cosx]

A. D=R .

B. D= R\{[-π]/4+k2π; k ∈ Z}.

C. D= R\{π/4+k2π; k ∈ Z}.

D. D= R\{π/4+kπ; k ∈ Z}

Câu 2:Tìm tập xác định D của hàm số y= cot[2x- π/4]+sin2x.

A. R\{π/4+kπ; k ∈ Z}.

B. D= R

C. R\{π/8+kπ; k ∈ Z}.

D. Đáp án khác

Câu 3:Tìm tập xác định D của hàm số y= √[sinx+2]

A.D=R .

B.D=[-2;+∞] .

C.D=[0;2π] .

D.D=Ø .

Câu 4:Tìm tập xác định D của hàm số y= √[sinx-2] .

A. D=R .

B. D=R\{kπ;k ∈ Z} .

C. D=[-1;1] .

D. D=Ø .

Câu 5:Xét bốn mệnh đề sau

[1] Hàm số y= sinx có tập xác định là R

[2] Hàm số y= cosx có tập xác định là R

[3] Hàm số y= tan x có tập xác định là R\{kπ|k ∈ Z}

[4] Hàm số y= cotx có tập xác định là R\{kπ/2|k ∈ Z}

Số mệnh đề đúng là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 6:Tập xác định của hàm số y=[1-sinx]/[sinx+1] là

A.x ≠ π/2+k2π .

B.x ≠ k2π .

C.x ≠ 3π/2+k2π .

D.x ≠ π+k2π .

Câu 7:Tập xác định của hàm số y=[1-3cosx]/sinx là

A.x ≠ π/2+kπ .

B.x ≠ k2π .

C.x ≠ kπ/2 .

D.x ≠ kπ .

Câu 8:Tập xác định của hàm số y=tan[2x-π/3] là

A.x ≠ π/6+kπ/2 .

B.x ≠ 5π/12+kπ .

C.x ≠ π/2+kπ .

D.x ≠ 5π/12+kπ/2 .

Câu 9:Tìm tập xác định của hàm số y=sin[1/x]+2x

A. D=[-2;2]

B. D=[-1;1]\{0}

C. D=R

D. D=R\{0}

Câu 10:Tìm tập xác định của hàm số y=[1+cosx]/sinx

A. D=R\{kπ|k ∈ Z} .

B. D=R\{π/2+kπ|k ∈ Z}.

C. D=R\{π+k2π|k ∈ Z} .

D. D=R\{k2π|k ∈ Z} .

Câu 11:Tập xác định của hàm số y= tan[2x+π/3] là

A. D. D=R\{π/2+kπ|k ∈ Z} .

B. D. D=R\{π/6+kπ|k ∈ Z} .

C. D. D=R\{π/12+kπ|k ∈ Z} .

D. D. D=R\{π/12+kπ/2|k ∈ Z} .

Câu 12:Tìm tập xác định D của hàm số y=1/[sin[x-π/2]]

A. D= R\{k π/2;k ∈ Z}.

B. D=R {kπ;k ∈ Z}.

C. D= R\{[1+2k] π/2;k ∈ Z}.

D. D=R {[1+2k]π;k ∈ Z}.

Câu 13:Tập xác định của hàm số y= sinx/[sinx+cosx]

A.D=R\{-π/4+kπ;k ∈ Z}

B.D=R\{kπ/4;k ∈ Z}

C.D=R\{π/4+kπ,π/2+kπ;k ∈ Z}

D.D=R\{π/4+kπ;k ∈ Z}

Câu 14:Tập xác định của hàm số y= tanx/[cosx-1]

A.x≠ k2π

B.x=π/3+k2π

C.x≠ π/2+kπ và x≠ k2π

D.x≠ π/2+kπ và x≠ π/3+kπ

Câu 15:Tìm tập xác định D của hàm số y=1/ √[1-sinx] .

A.D=R\{kπ;k ∈ Z}

B.D=R\{π/2+kπ;k ∈ Z}

C.D=R\{π/2+k2π;k ∈ Z}

D.D=∅

Câu 16:Tập xác định của hàm số 

A.D=R\{-π/6+k2π;k ∈ Z} .

B.D=R\{7π/6+kπ,k2π;k ∈ Z} .

C.D=R\{k2π;k ∈ Z} .

D. Đáp án khác

Câu 17:Tập xác định của hàm số 

 là:

A.D=R\{±π/4+kπ,π/2+kπ;k ∈ Z} .

B.D=R\{kπ/2;k ∈ Z} .

C.D=R\{π/4+kπ;k ∈ Z} .

D.D=R\{±π/4+kπ;k ∈ Z} .

Câu 18: Hàm số

 có tập xác định là:

A.D=R\{π/6+kπ/2,kπ;k ∈ Z} .

B.D=R\{π/12+kπ,kπ/2;k ∈ Z} .

C.D=R\{π/12+kπ,kπ;k ∈ Z} .

D.D=R\{π/12+kπ/2,kπ;k ∈ Z} .

Câu 19:Tập xác định của hàm số y=cotx/[sinx-1] là:

A.D=R\{π/3+k2π;k ∈ Z} .

B.D=R\{kπ/2;k ∈ Z} .

C.D=R\{π/2+k2π,kπ;k ∈ Z} .

D.D=R\{π/2+k2π;k ∈ Z} .

Câu 20:Tập xác định của hàm số y=2016tan20172x là

A.D=R\{π/2+kπ;k ∈ Z}

B.D=R\{kπ/2;k ∈ Z}

C.D=R

D.D=R\{π/4+kπ/2;k ∈ Z}

Câu 21:Tập xác định của hàm số 

 . là

A. D=[0;2π]

B. D=[0;+∞]

C. D=R

D. D=R\{0}

Câu 22:Tập xác định của hàm số y=[2sinx+1]/[1-cosx] là:

A. x ≠ kπ/2 .

B. x ≠ kπ .

C. x ≠ π/2+kπ .

D. x ≠ π/2+k2π .

Câu 23: Tập xác định của hàm số y= tan 2x là

A. x ≠ -π/4+kπ/2 .

B. x ≠ π/2+kπ .

C. x ≠ π/4+kπ/2 .

D. x ≠ π/4+kπ .

Câu 24:Để tìm tập xác định của hàm số y= tanx+ cosx, một học sinh đã giải theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là sinx≠ 0 và cosx≠ 0 .

Bước 2: ⇒ x≠ π/2+kπ và x≠ kπ ;k ∈ Z

Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D=R\{π/2+kπ,kπ;k ∈ Z} .

Bài giải của bạn đó đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu ở bước nào?

A. Bài giải đúng.

B. Sai từ bước 1.

C. Sai từ bước 2.

D. Sai từ bước 3.

Câu 25:Tập xác định D của hàm số

 là

A.D=R\{π/2+k2π;k ∈ Z}

B.D=R\{π/2+kπ;k ∈ Z}

C.D=R\{π/2+kπ/2;k ∈ Z}

D.D=R\{kπ/2;k ∈ Z}

Câu 26:Tìm tập xác định của hàm số y=1/[sin2x-cos2x]

A.D=R\{π/2+kπ;k ∈ Z}

B.D=R\{kπ/2;k ∈ Z}

C.D=R

D.D=R\{π/4+kπ/2;k ∈ Z}

Câu 27:Tìm tập xác định của hàm số y=2017tan2x/sin2x-cos2x

A.D=R\{π/2+kπ;k ∈ Z}

B.D=R\{π/2;k ∈ Z}

C.D=R

D.D=R\{π/4+kπ/2;k ∈ Z}