Giới hạn của hàm số là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11 và là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra. Trong bài viết dưới đây, VUIHOC sẽ giúp các em tổng hợp lý thuyết, các công thức tính giới hạn hàm số cùng các bài tập vận dụng và lời giải chi tiết để từ đó ôn tập hiệu quả nhé!
1. Lý thuyết giới hạn của hàm số
1.1. Giới hạn của hàm số là gì?
Khái niệm “Giới hạn” được sử dụng trong toán học để chỉ giá trị khi biến của một hàm số hoặc một dãy số khi tiến dần tới một giá trị xác định.
Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân. Đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó.
Ta có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f[x] tiến càng gần L khi x tiến càng gần a.
Ký hiệu Toán học: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f[x]=L$
Ví dụ: $\underset{x\rightarrow 2}{lim} x^{2}=4$ do $x^{2}$ nhận các giá trị rất gần 4 khi x tiến đến 2.
1.2. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm
Cho hàm số y = f[x] và khoảng K chứa điểm $x_{0}$. Hàm f[x] xác định trên K hoặc K ∖ ${x_{0}}$
Ta nói y = f[x] có giới hạn là L khi x tiến dần tới $x_{0}$ nếu với dãy $[x_{n}]$ bất kì, $x_{n} \rightarrow x_{0}$ ta có $f[x_{n}] \rightarrow L$
Ký hiệu Toán học:
$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f[x]=L$ hay f[x] = L khi
$x \rightarrow$ x0
1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực
a, Cho y = f[x] xác định trên $[a;+\infty]$
Ta nói y = f[x] có giới hạn là L khi x tiến dần tới $+\infty$ nếu với dãy $[x_{n}]$ bất kì, $x_{n}>a$ và $x_{n} \rightarrow +\infty$ ta có $f[x_{n}] \rightarrow L$
Ký hiệu Toán học:
$\underset{x\rightarrow +\infty}{lim} f[x]=L$
hay f[x] = L khi $x \rightarrow +\infty$
b, Cho y = f[x] xác định trên $[-\infty;a]$
Ta nói y = f[x] có giới hạn là L khi x tiến dần tới $-\infty$ nếu với dãy $[x_{n}]$ bất kì, $x_{n} 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì f[x] > N. Những giới hạn vô hạn có liên quan đến khái niệm tiệm cận. một lân cận của a ∈ R được định nghĩa như trong không gian mêtric R.