Một số trên vô cùng bằng bao nhiêu
|
Giới hạn của hàm số là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11 và là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra. Trong bài viết dưới đây, VUIHOC sẽ giúp các em tổng hợp lý thuyết, các công thức tính giới hạn hàm số cùng các bài tập vận dụng và lời giải chi tiết để từ đó ôn tập hiệu quả nhé! Show
1. Lý thuyết giới hạn của hàm số1.1. Giới hạn của hàm số là gì?Khái niệm “Giới hạn” được sử dụng trong toán học để chỉ giá trị khi biến của một hàm số hoặc một dãy số khi tiến dần tới một giá trị xác định. Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân. Đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó. Ta có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f(x) tiến càng gần L khi x tiến càng gần a. Ký hiệu Toán học: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=L$ Ví dụ: $\underset{x\rightarrow 2}{lim} x^{2}=4$ do $x^{2}$ nhận các giá trị rất gần 4 khi x tiến đến 2. 1.2. Giới hạn của hàm số tại 1 điểmCho hàm số y = f(x) và khoảng K chứa điểm $x_{0}$. Hàm f(x) xác định trên K hoặc K ∖ ${x_{0}}$ Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới $x_{0}$ nếu với dãy $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} \rightarrow x_{0}$ ta có $f(x_{n}) \rightarrow L$ Ký hiệu Toán học: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ hay f(x) = L khi $x \rightarrow$ x0 1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cựca, Cho y = f(x) xác định trên $(a;+\infty)$ Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới $+\infty$ nếu với dãy $(x_{n})$ bất kì, $x_{n}>a$ và $x_{n} \rightarrow +\infty$ ta có $f(x_{n}) \rightarrow L$ Ký hiệu Toán học: $\underset{x\rightarrow +\infty}{lim} f(x)=L$ hay f(x) = L khi $x \rightarrow +\infty$ b, Cho y = f(x) xác định trên $(-\infty;a)$ Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới $-\infty$ nếu với dãy $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} Ký hiệu Toán học: $\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}$f(x) = L hay f(x) = L khi $x \rightarrow -\infty$ Nhận xét: Hàm số f(x) có giới hạn là $+\infty$ khi và chỉ khi hàm số -f(x) có giới hạn là $-\infty$ 1.4. Giới hạn của hàm số là limGiả sử f(x) là một hàm số giá trị thực, a là một số thực. Biểu thức $\underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=L$ có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần a. Ta nói giới hạn của f(x) khi xđạt gần đến a là L. Chú ý rằng điều này cũng đúng khi $f(a)\neq L$ và khi f(x) không xác định tại a. 2. Các định lý về giới hạn của hàm số
a, Giả sử $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ và $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}g(x)=M$. Khi đó: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}[f(x)+g(x)]=L+M$ $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}[f(x)-g(x)]=L-M$ $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}[f(x).g(x)]=L.M$ $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{L}{M}(M\neq 0)$ b, Nếu $f(x)\geq 0$ và $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ thì: $L\geq 0$ và $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$ Dấu của hàm f(x) được xét trên khoảng cần tìm giới hạn với $x\neq x_{0}$
$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ khi và chỉ khi $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=L$ 3. Một số giới hạn đặc biệta, $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}x=x_{0}$ b, $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}c=c$ c, $\underset{x\rightarrow \pm \infty}{lim}c=c$ d, $\underset{x\rightarrow \pm \infty}{lim}\frac{c}{x}=0$ với c là hằng số e, $\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}x^{k}=+\infty$ với k là số nguyên dương f, $\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}x^{k}=-\infty$ nếu như k là số lẻ g, $\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}x^{k}=+\infty$ nếu như k là số chẵn 4. Các dạng toán tính giới hạn của hàm số và ví dụ4.1. Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng định nghĩaPhương pháp giải: chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số để tính Ví dụ: Tìm giới hạn của các hàm số sau đây bằng định nghĩa: a, $A=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(3x^{2}+x+1)$ b, $B=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x-1}$ c, $\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}$ d, $\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\frac{3x+2}{x-1}$ Lời giải:
4.2. Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùngHàm số 0/0 là hàm số có dạng $A=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$ với $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơzu: Nếu f(x) có nghiệm $x=x_{0}$ , ta sẽ có $f(x)=(x-x_{0}).f_{1}(x)$ $f(x)=(x-x_{0}).f_{1}(x); g(x)=(x-x_{0}).g_{1}(x)$ Khi đó $A=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}$, ta tiếp tục quá trình như trên nếu giới hạn này có dạng 0/0 Ví dụ: Tìm các giới hạn dưới đây: a, $A=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{\sqrt{2x-1}-x}{x^{2}-1}$ b, $B=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{\sqrt[3]{3x+2}-x}{\sqrt[2]{3x-2}-2}$ Lời giải: a, $A=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{\sqrt{2x-1}-x}{x^{2}-1}$ Ta có: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{-(x-1)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{2x-1}+x)}=0$ $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x-1-x^{2}}{(x-1)(x+1)(\sqrt{2x-1}+x)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{-(x-1)}{(x+1)(\sqrt{2x-1}+x)}=0$ b, $B=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{\sqrt[3]{3x+2}-x}{\sqrt[2]{3x-2}-2}$ Ta có: $\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{(3x+2-x^{3})(\sqrt{3x-2}+2)}{3(x-2)(\sqrt[3]{(3x+2)^{2}}+2\sqrt[3]{(3x+)}+4}=-1$ 4.3. Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùngPhương pháp giải: Ta tìm các biến hàm số về dạng $\infty/\infty$ Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây: a, $A=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}x(\sqrt{x^{2}+9}-x)$ b, $B=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\sqrt{x^{2}-x+1}-x$ Lời giải: a, $A=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}x(\sqrt{x^{2}+9}-x)=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}x.\frac{x^{2}+9-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+9}+x}=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\frac{9}{\sqrt{1+\frac{9}{x^{2}}+1}}=\frac{9}{2}$ b, $B=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\sqrt{x^{2}-x+1}-x=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\frac{-x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1+x}}=-\frac{1}{2}$ 4.4. Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùngPhương pháp giải: Ta biến đổi về dạng 0/0 hoặc $\infty/\infty$ sau đó dùng phương pháp giải của hai dạng này Ví dụ: Tìm giới hạn: $\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}\frac{1}{x}(\sqrt{4x^{2}+1}-x)$ Lời giải:
5. Một số bài tập về giới hạn của hàm số từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)Bài 1: Tìm các giới hạn của hàm số dưới đây bằng giới hạn:
Lời giải:
Bài 2: Chứng minh các hàm số dưới đây không có giới hạn:
Lời giải:
Bài 3: Chứng minh $f(x)=cos\frac{1}{x^{2}}$ khi x tiến tới 0 không có giới hạn Lời giải:
Bài 4: Tìm giới hạn sau: $A=\underset{x\rightarrow \infty}{lim}(\sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}}+\sqrt{x^{2}-2x})$ Lời giải:
Bài 5: Tìm giới hạn sau: $N=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\sqrt{4x^{2}-x+1}+2x$ Lời giải: $N=\underset{x\rightarrow +\infty}{lim}\frac{x+1}{2x-\sqrt{4x^{2}-x+1}}=\frac{1}{4}$ Bài 6: Tìm giới hạn: $M=\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}x-\sqrt[3]{1-x^{3}}$ Lời giải: $M=\underset{x\rightarrow -\infty}{lim}x-\sqrt[3]{1-x^{3}}=-\infty$
Bài 7: Tìm giới hạn: $P=\underset{x\rightarrow -\infty}{lim} \sqrt{4x^{2}+1}-x$ Lời giải: $P=\underset{x\rightarrow -\infty}{lim} \sqrt{4x^{2}+1}-x=\underset{x\rightarrow -\infty}{lim} \frac{3x^{2}+1}{\sqrt{4x^{2}+1}+x}=-\infty$
Bài 8: Tính giới hạn: $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}(x^{3}-1)\sqrt{\frac{x}{x^{2}-1}}$ Lời giải:
Bài 9: Tính:$\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}(x+1)\sqrt{\frac{2x+1}{x^{3}+x^{2}+1}}$ Lời giải:
Bài 10: Tính $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(1-2x)\sqrt{\frac{3x-11}{x^{3}-1}}$ Lời giải:
Bài viết liên quan VUIHOC ra mắt kỳ thi thử Đánh giá năng lực Đại học Quốc gia lần 3: Đề thi toàn diện - tiến thẳng trường top Một số chia cho đường vô cùng bằng bao nhiêu?1/∞ = 0 .
Giới hạn lim bằng bao nhiêu?Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số dương bất kỳ, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi đều sẽ lớn hơn số dương đó. Ký hiệu: lim un = + ∞. Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số âm bất kỳ cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạn nào đó trở đi đều sẽ nhỏ hơn số âm đó.
Giới hạn vô cùng là gì?Giới hạn vô cùng
nghĩa là với mọi N > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì f(x) > N. Những giới hạn vô hạn có liên quan đến khái niệm tiệm cận. một lân cận của a ∈ R được định nghĩa như trong không gian mêtric R.
Thế nào là giới hạn của hàm số?Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân. Đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó. Ta có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f(x) tiến càng gần L khi x tiến càng gần a.
|
