Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng được tính như thế nào? Công thức tính nhanh như thế nào? Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các em cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian theo cách nhanh nhất.
Bạn đang xem: Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng
KHOẢNG CÁCH TỪ ĐƯỜNG THẲNG ĐẾN MẶT PHẲNG
Trong không gian đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: Cắt nhau; Đường thẳng nằm trên mặt phẳng; Đường thẳng song song với mặt phẳng.
Thông thường một bài toán dạng này sẽ không hỏi về 2 trường hợp đường thẳng cắt hoặc nằm trên mặt phẳng. Trong các trường hợp này chúng ta có thể coi khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng là bằng 0.
Trong trường hợp đường thẳng d và mặt phẳng [P] song song với nhau. Khoảng cách giữa d và [P] là khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ trên d đến mặt phẳng [P]. Ký hiệu là d[d,[P]].
Xem thêm: #1 Chi Nhánh Có Tư Cách Pháp Nhân Không, Có Thể Tự Tham Gia Dự Thầu Không?
Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng [P] song song với nhau. Đường thẳng d có chứa điểm M[α;β;γ]. Mặt phẳng [P] có phương trình:
ax+by+cz+d=0. Khi đó khoảng cách giữa d và [P] được tính theo công thức:
Như vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song được tính hoàn toàn theo công thức khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng. Thậm chí việc lựa chọn điểm còn thỏa mái hơn vì chúng ta có thể chọn M là bất cứ điểm nào trên đường thẳng d.
Ví dụ minh họa:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng [P] lần lượt có phương trình:
Tính khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng [P].
Lời giải:
Để kiểm tra đường thẳng có song song hoặc nằm trên mặt phẳng hay không. Ta lấy tích vô hướng của 1 vecto chỉ phương của đường thẳng và 1 vecto pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu kết quả bằng 0 thì đường thẳng song song hoặc nằm trên mặt phẳng.
Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. PHƯƠNG PHÁP: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng [d] song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt phẳng [d]. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 7% một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kết luận: Việc tính khoảng cách giữa đường song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đều quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đã đề cập ở dạng toán 2 phía trên. Do đó, việc cần làm là chọn điểm trên đường hoặc trên mặt sao cho việc xác định khoảng cách là đơn giản nhất.
MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA. Bài toán 1: Cho hình lăng trụ ABC có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Hình chiếu vuông góc của A trên với trung điểm của B’C’. Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt bên BCC’B’. b] Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ. Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a và SAI[ABCD]. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng [SAD] bằng. Bài toán 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a3. Khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng [SAB] bằng.
Trong không gian đường thẳng và mặt phẳng có 3 vị trí tương đối: Cắt nhau; Đường thẳng nằm trên mặt phẳng; Đường thẳng song song với mặt phẳng.
bình thường một bài toán dạng này sẽ không hỏi về 2 trường hợp đường thẳng cắt hoặc nằm trên mặt phẳng. Trong các trường hợp này chúng ta có thể coi khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng là bằng 0.
Trong trường hợp đường thẳng d và mặt phẳng [P] song song với nhau. Khoảng cách giữa d và [P] là khoảng cách từ 1 điểm bất cứ trên d tới mặt phẳng [P]. Ký hiệu là d[d,[P]].
CÔNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG đồng thời
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng [P] song song với nhau. Đường thẳng d có chứa điểm M[α;β;γ]. Mặt phẳng [P] có phương trình:
ax+by+cz+d=0. Khi đó khoảng cách giữa d và [P] được tính theo công thức:
Như vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng đồng thời được tính hoàn toàn theo công thức khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng. Thậm chí việc lựa chọn điểm còn thỏa mái hơn bởi chúng ta có thể chọn M là bất kỳ điểm nào trên đường thẳng d.
thí dụ minh họa:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng [P] tuần tự có phương trình:
Tính khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng [P].
Lời giải:
Để đánh giá đường thẳng có song song hoặc nằm trên mặt phẳng hay không. Ta lấy tích vô hướng của 1 vecto chỉ phương của đường thẳng và 1 vecto pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu kết quả bằng 0 thì đường thẳng đồng thời hoặc nằm trên mặt phẳng.
Và đó là Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng được tintuctuyensinh liệt kê , mong rằng các bạn sẽ có thể lựa chọn nhiều tài liệu hơn nữa
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
Cho đường thẳng d // [P]; để tính khoảng cách giữa d và [P] ta thực hiện các bước:
+ Bước 1: Chọn một điểm A trên d, sao cho khoảng cách từ A đến [P] có thể được xác định dễ nhất.
+ Bước 2: Kết luận: d[d; [P]] = d[A; [P]].
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ [ABCD], đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và [SAD]
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D; AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với [ABCD] lấy điểm S với SD = a√2. Tính khỏang cách giữa đường thẳng CD và [SAB].
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì DC // AB nên DC // [SAB]
⇒ d[DC; [SAB]] = d[D; [SAB]]
Kẻ DH ⊥ SA
Do AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ [SAD]
⇒ DH ⊥ AB lại có DH ⊥ SA
⇒ DH ⊥ [SAB]
Nên d[CD; [SAB]] = DH.
Trong tam giác vuông SAD ta có:
Quảng cáo
Ví dụ 3: Cho hình chóp O.ABC có đường cao OH = 2a/√3 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và [ABC] bằng:
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB nên
MN // AB
⇒ MN // [ABC]
Khi đó, ta có:
[vì M là trung điểm của OA].
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a . Khoảng cách từ đường thẳng AB đến [SCD] bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD; gọi I và M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD. Khi đó; IM // AD //BC
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của hình vuông nên SO ⊥ [ABCD] .
+ Do tam giác SAB là đều cạnh 2a
Chọn đáp án D
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên [SAB] và [SAD] cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a√2. Gọi E là trung điểm AD. Khoảng cách giữa AB và [SOE] là
+ Vì hai mặt bên [SAB] và [SAD] cùng vuông góc với mặt phẳng đáy .
mà [SAB] ∩ [SAD] = SA
⇒ SA ⊥ [ABCD] .
+ Do E là trung điểm của AD khi đó
Tam giác ABD có EO là đường trung bình
⇒ EO // AB ⇒ AB // [SOE]
⇒ d[AB, [SOE]] = d[A; [SOE]] = AH
với H là hình chiếu của A lên SE.
Quảng cáo
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 [đvdt]. Khoảng cách giữa AA’ và [BB’D’] bằng:
Chọn B
Ta có: AA’ // BB’ mà BB’ ⊂ [ BDD’B’]
⇒ AA’ // [BDD’B’]
⇒ d[ AA’; [BD’B’]] = d[A; [BDD’B’]
Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ AO ⊥ [BDD’B’] [tính chất hình lập phương]
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ [ABCD] đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa [SDA] và BC?
+ Ta có: BC // AD nên BC // [SAD]
⇒ d[BC; [SAD]] = d[B; SAD]]
+ Ta chứng minh BA ⊥ [SAD] :
Do BA ⊥ AD [vì ABCD là hình chữ nhật]
Và BA ⊥ SA [vì SA ⊥ [ABCD]]
⇒ BA ⊥ [SAD]
⇒ d[B; [SAD]] = BA
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có:
AB2 = AC2 - BC2 = 5a2 - 2a2 = 3a2
⇒ AB = √3 a
⇒ d[CB; [SAD]] = AB = √3 a
Đáp án D
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a; BC = a . Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a√2 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và [SBK] là:
Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là trung điểm cạnh BC
+ Do SA = SB = SC = SD và OA = OB = OC = OD nên SO ⊥ [ABCD]
+ Ta chứng minh BC ⊥ [SOI]
- Tam giác SBC cân tại S có SI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BC ⊥ SI [1].
- Lại có: BC ⊥ SO [vì SO ⊥ [ABCD]] [2]
Từ [ 1] và [ 2] suy ra: BC ⊥ [SOI]
Mà OH ⊂ [SOI] nên BC ⊥ OH
⇒ OH ⊥ [SBC]
Do EF // BK nên EF // [SBK]
⇒ d[EF; [SBK]] = d[O; [SBK]] = OH
Chọn đáp án D.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB= a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khoảng cách giữa BC và [SMN] bằng bao nhiêu?
+ Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // BC
⇒ BC // [SMN] nên :
d[BC; [SMN]] = d[B; [SMN]] = d[A; [SMN]]
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM.
+ Ta chứng minh: MN ⊥ [SAM]:
Chọn đáp án A
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a√2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và [SBC] là:
+ Do AD // BC nên AD // [SBC]
⇒ d [AD, [SBC]] = d[H; [SBC]]
trong đó H là trung điểm AD.
+ Gọi M là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của H lên SM
⇒ d[H; [SBC]] = HK.
+ Diện tích tam giác SMH là:
Chọn đáp án C
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√17/2 . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S lên mặt phẳng [ABCD] là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD. Tính khoảng cách giữa hai đường HK và [SBD] theo a
+ Ta có: H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD
⇒ HK // BD ⇒ HK // [SBD]
⇒ d[HK; [SBD]] = d[H, [SBD]]
Kẻ HI ⊥ BD và HJ ⊥ SI
Chọn đáp án C
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ∠ABC = 60° Hai mặt phẳng [SAC] và [SBD] cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng [SAB] và [ABCD] bằng 30°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và [SAB] theo a bằng:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Kẻ: OI ⊥ AB; OH ⊥ SI
+ Do CD // AB nên CD // [SAB]
⇒ d[CD, [SAB]] = d[C; [SAB]] = 2d[ O; [SAB]]
Ta có: AB ⊥ SO , AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ [SOI] ⇒ AB ⊥ OH
Nên OH ⊥ [SAB] ⇒ d[O, [SAB]] = OH
Mà tam giác ACB cân tại B có ∠ABC = 60° nên tam giác ABC đều
⇒ OC = [1/2]AC = [1/2]AB = a/2 .
+ xét tam giác OAB có:
Chọn đáp án B
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SO = 2, mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60°. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và [SCD] bằng
+ Gọi I là trung điểm của CD . Ta có:
⇒ [[SCD], [ABCD]] = [OI, SI] = 60°
+ Ta có: AB // CD nên AB // [SCD]
⇒ d[AB, [SCD]] = d[A, [ SCD]] = 2.d[O, [SCD]]
+ Trong mp [SOI] , gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SI
+ Tam giác SOI vuông tại O, có đường cao OH nên
Do đó: d[AB; [SCD]] = 2d[O; [SCD]] = 2.OH = 2.1 = 2
Chọn B
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.