Giải và biện luận phương trình bậc nhất $ax+b=0$ là một dạng toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện khả năng lập luận, tư duy logic.
Xem thêm Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị
1. Giải và biện luận phương trình ax+b=0
Để giải và biện luận phương trình $ax+b=0$, ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. Nếu $ a\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất $$ x=-\frac{b}{a}.$$
- Trường hợp 2. Nếu $ a = 0$ thì phương trình đã cho trở thành $ 0x+b=0$, lúc này:
- Nếu $ b=0$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R};$
- Nếu $ b\ne 0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Bảng tóm tắt cách giải và biện luận phương trình $ax+b=0$
Chú ý khi giải và biện luận phương trình bậc nhất:
- Biến đổi để đưa phương trình đã cho về đúng dạng $ax+b=0$ trước khi xét các trường hợp.
- Nếu phương trình đã cho có điều kiện thì cần kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện hay không rồi mới kết luận.
2. Ví dụ giải và biện luận phương trình ax+b=0
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $ mx+2-m=0$.
Chúng ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. Nếu $ m=0$, phương trình đã cho trở thành $$ 0x+2=0 $$ Rõ ràng phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
- Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 0$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m}.$
Vậy, $ m=0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $ [m-2]x+2-m=0$.
Chúng ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. $ m-2=0$ hay $ m=2$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+0=0 $$ Rõ ràng phương trình này có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$ nên phương trình đã cho cũng có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.
- Trường hợp 2. $ m\ne 2$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m-2}=-1.$
Vậy, $ m=2$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$; $ m\ne 2$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-1$.
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình $ mx+[2-3m]x+5=0$.
Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta biến đổi phương trình đã cho về dạng $ ax+b=0$. Có, phương trình đã cho tương đương với $$ [2-2m]x+5=0 $$ Chúng ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. $ 2-2m=0$ hay $ m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+5=0 $$ Phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
- Trường hợp 2. $ m\ne 1$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{-5}{2-2m}.$
Vậy, $ m=1$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{-5}{2-2m}$.
Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình $ \frac{5x-m}{x-1}=0$.
Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình, sau đó biến đổi đưa phương trình về dạng quen thuộc $ ax+b=0.$
- Điều kiện xác định: $ x\ne 1$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$ 5x-m=0 $$
- Phương trình này có nghiệm $ x=\frac{m}{5}$. Tuy nhiên đây chưa phải nghiệm của phương trình đã cho vì cần có điều kiện $ x\ne 1$. Do đó chúng ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. Nếu $ \frac{m}{5}=1$ hay $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
- Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$
Tóm lại, $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$
Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{mx+2m}{x-3}=0 $$
Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{[m+1]x+2m}{x^2-4}=0 $$
Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{x+2-m}{\sqrt{x-4}}=0 $$
Ví dụ 8. Tìm $m$ để phương trình $ [x-1][x-3m]=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 9. Tìm $m$ để phương trình $ \sqrt{x-3}[x+5-m]=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 10. Tìm $m$ để phương trình $ [3-m]x+9-m^3=0$ có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.
Ví dụ 11. Tìm $m$ để phương trình $ [3-m]x+9-m^3=0$ vô nghiệm.
Ví dụ 12. Tìm $m$ để phương trình $ \frac{[3-m]x+3}{x-5}=0$ vô nghiệm.
3. Bài tập giải và biện luận phương trình bậc nhất
Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số $m$:
- $mx = 3$
- $[ m -2] x = m -2$
- $[2 m -1] x = 5m +3$
- $[ m ^2-1] x =2 m +2$
- $m [ x -2]=x +1$
- $[ m -1] x =2 x + m -3$
- $[ m +1][ x -2]=3 m -1$
- $[ m -1][ x +1]= m ^{2}-1$
- $[ m -3] x = m [ m -1]-6$
- $[2 m -3] x = m [2 m -5]+3$
08:30:4408/04/2022
Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những dạng toán hay gặp trong các đề thi vào lớp 10, đặc biệt là dạng toán giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m làm nhiều em gặp khó khăn vì không nắm vững được cách giải.
Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở chương trình toán lớp 9 để các em cảm thấy việc giải dạng toán này cũng không hề khó nhằn như nhiều em vẫn nghĩ.
A. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m
• Giải phương trình bậc 2 dạng: ax2 + bx + c = 0 [a ≠ 0]
Để giải phương trình bậc 2, điều đầu tiên các em cần nhớ là công thức tính biệt thức delta: Δ = b2 - 4ac
- Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
- Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
- Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
> Lưu ý: Nếu hệ số b của phương trình bậc 2 là số chẵn [tức b = 2b'] ta có thể tính biệt thức Δ' để giải biện luận phương trình.
Δ' = b'2 - ac
Nếu Δ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép:
Nếu Δ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
• Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số m
Xét các trường hợp của hệ số a:
+ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất.
+ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính biệt thức delta [hoặc Δ']
- Bước 2: Xét các trường hợp của delta chứa tham số
- Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình theo tham số
B. Bài tập minh họa Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m
* Bài tập 1: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:
x2 - 2[3m - 1]x + 9m2 - 6m - 8 = 0 [*]
* Lời giải:
Để ý phương trình [*] có các hệ số: a = 1; b = 2[3m - 1] và c = 9m2 - 6m - 8
Vì vậy ta tính biệt số Δ', ta có:
Δ' = b'2 - ac = [3m - 1]2 - 1.[9m2 - 6m - 8]
= 9m2 - 6m + 1 - 9m2 + 6m + 8
= 9 > 0
Suy ra:
Nên sao có 2 nghiệm phân biệt:
→ Kết luận: Với mọi tham số m thì pt [*] luông có 2 nghiệm phân biệt.
* Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m:
3x2 - mx + m2 = 0
* Lời giải:
Các hệ số của phương trình bậc 2 trên: a = 3; b = -m; c = m2
Tính biệt thức delta:
Δ = b2 - 4ac = [-m]2 - 4.3.m2 = m2 - 12m2 = -11m2 ≤ 0 [với mọi m]
+ Trường hợp: Δ = 0 ⇔ -11m2 = 0 ⇔ m = 0
Phương trình [*] có nghiệm kép: x1 = x2 = 0
+ Trường hợp: Δ < 0 ⇔ -11m2 < 0 ⇔ m ≠ 0
Phươn trình [*] vô nghiệm.
→ Kết luận: Với m = 0 pt [*] có nghiệm kép x = 0
Với m ≠ 0 pt [*] vô nghiệm
* Bài tập 3: Cho phương trình mx2 - 2[m - 1]x + [m + 1] = 0 [*] với m là tham số.
a] Giải phương trình với m = -2.
b] Tìm m để phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt.
c] Tìm m để phương trình [*] có 1 nghiệm.
* Lời giải:
a] Với m = -2, pt [*] trở thành: -2x2 - 2[-2 - 1]x + [-2 + 1] = 0
⇔ -2x2 + 6x - 1 = 0
⇔ 2x2 - 6x + 1 = 0
Tính biệt số delta [các em có thể tính delta phẩy sẽ gọn hơn nhé]:
Δ = b2 - 4ac = [-6]2 - 4[2.1] = 36 - 8 = 28 > 0
Suy ra
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
b] Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt khi:
Δ' = b'2 - ac = [m - 1]2 - m[m + 1]
= m2 - 2m + 1 - m2 - m
= -3m + 1
Δ' > 0 ⇔ -3m + 1 > 0 ⇔ m