Giải bài tập Toán lớp 12 trang 18

Chứng minh hàm số \(y=\sqrt{|x|}\) không có đạo hàm tại \(x=0\) nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

Gợi ý:

Hàm số \(y = f(x)\) không có đạo hàm tại \(x_o\) nếu \(\lim\limits_{x\to {0}^{+}} \,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x} \ne \lim\limits_{x\to {0}^{-}}\,\dfrac{f\left( x \right) -f\left( 0 \right)}{x}\).

Tập xác định: \( D=ℝ\). Đặt \( f(x)=\sqrt{|x|}\).

Ta có: 

\(\lim\limits_{x\to {0}^{+}} \,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}= \lim\limits_{x\to {0}^{+}}\,\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\lim\limits_{x\to {0}^{+}}\, \dfrac{1}{\sqrt{x}}=+\infty \\\lim\limits_{x\to {0}^{-}}\,\dfrac{f\left( x \right) -f\left( 0 \right)}{x}=\lim\limits_{x\to {0}^{-}}\,\dfrac{\sqrt{-x}}{x} =\lim\limits_{x\to {0}^{-}}\,\dfrac{-1}{\sqrt{-x}}=-\infty \)

Vậy hàm số không có đạo hàm tại \(x=0\).

\(y=\left\{ \begin{aligned} & \sqrt{x};\,x\ge 0 \\ & \sqrt{-x};\,x<0 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow y'=\left\{ \begin{aligned} & \frac{1}{2\sqrt{x}};\,x\ge 0 \\ & \frac{-1}{2\sqrt{-x}};\,x<0 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & y'>0,\forall x\ge0 \\ & y'<0,\forall x<0 \\ \end{aligned} \right. \)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\).

Ghi nhớ: Quy tắc xét tìm cực trị: Quy tắc I.
1. Tìm tập xác định
2.Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đinh.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.