Giải bài tập Toán 12 trang 90 Hình học

Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 3 trang 90 SGK Hình học 12:

Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng d và d' cho bởi các phương trình sau:

Lời giải:

Kiến thức áp dụng

Xét đường thẳng [d] :

có vtcp

và [d’] :

có vtcp

+ TH1 :

+ TH2: vecto u không song song với vecto u':

Nếu hệ

có nghiệm duy nhất.

⇒ [d] và [d’] cắt nhau.

Nếu hệ

vô nghiệm

⇒ [d] và [d’] chéo nhau.

• Giải Toán 12: Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian

=> Tìm kiếm tài liệu học tập Giải toán lớp 12 Mới nhất tại đây: Giải Toán lớp 12

Nội dung của tài liệu Giải toán lớp 12: Phương trình đường thẳng trong không gian bao gồm đầy đủ những bài giải bài tập theo đúng với chương trình giảng dạy sgk, các bài tập được hướng dẫn và giải chi tiết theo nhiều phương pháp làm toán khác nhau. Chắc chắn khi sử dụng tài liệu giảu toán lớp 12 này việc giải bài tập phương trình đường thẳng trong không gian sẽ trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn. Để học tốt Toán 12 các em học sinh cũng có thể ứng dụng tài liệu tham khảo là giải bài tập trang 90, 91 SGK Toán 12 hay rất nhiều những mẫu bài giải đề thi được cập nhật chi tiết và đầy đủ trên Taimienphi.vn.

Trong chương trình học lớp 12 Giải Tích các em sẽ học Ôn tập Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô Chương I cùng Giải Toán 12 trang 45, 46 để học tốt bài học này

Chương II Giải Tích lớp 12, các em sẽ học Bài 3. Lôgarit cùng Giải toán lớp 12 trang 68

Mời các em học sinh cùng thầy cô giáo hãy tham khảo cách giải bài Bất phương trình mũ và Lôgarit trong phần tiếp theo của chúng tôi.

Trong chương trình học môn Hình học 12 phần Giải bài tập trang 26, 27, 28 SGK Hình Học 12 là một trong những nội dung rất quan trọng mà các em cần quan tâm và trau dồi để nâng cao kỹ năng giải Hình học 12 của mình.

Bài trước chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu về hệ tọa độ và phương trình mặt phẳng, bài viết ngày hôm nay chúng tôi xin giới thiệu với các bạn một nội dung kiến thức mới về phương trình đường thẳng trong không gian cùng với các phương pháp giải bài tập Phương trình mặt phẳng trong không gian. Tài liệu Giải Toán lớp 12 sẽ hỗ trợ quá trình học bài và giải bài tập của các em học sinh trở nên nhanh chóng và hiệu quả hơn, đây cũng là tài liệu mà thầy cô giáo có thể ứng dụng để làm giáo án toán 12, giảng dạy cho các em dễ dàng nhất.

Giải toán lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 49 SGK Hình Học - Mặt cầu Giải Toán lớp 12 Bài 1, 2, 3 trang 68 SGK Hình Học - Hệ tọa độ trong không gian Giải toán lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 135, 136 SGK Giải Tích - Cộng, trừ và nhân số phức Giải Toán 12 trang 55, 56 Giải toán lớp 12 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 trang 80, 81 SGK Hình Học - Phương trình mặt phẳng Giải bài tập trang 100, 101 SGK Giải Tích 12 - Nguyên hàm

a] \[d:\left\{ \begin{aligned} & x=-3+2t \\ & y=-2+3t \\ & z=6+4t \\ \end{aligned} \right. \] và \[d':\left\{ \begin{aligned} & x=5+t' \\ & y=-1-4t' \\ & z=20+t' \\ \end{aligned} \right. \];

b] \[d:\left\{ \begin{aligned} & x=1+t \\ & y=t \\ & z=3-t \\ \end{aligned} \right. \] và \[ d':\left\{ \begin{aligned} & x=1+2t' \\ & y=-1+2t' \\ & z=2-2t' \\ \end{aligned} \right. \]

Hướng dẫn:

+] Nếu \[\overrightarrow{{{u}_{d}}}=k\overrightarrow{{{u}_{d'}}}\] thì lấy điểm \[M\in d\] và kiểm tra xem \[M\in d' \] không?

    Nếu \[M\in d' \] thì hai đường thẳng trùng nhau.

    Nếu \[M\notin d' \] thì hai đường thẳng song song với nhau.

+] Nếu \[\overrightarrow{{{u}_{d}}}\ne \overrightarrow{{{u}_{d'}}}\] ta tìm số giao điểm của hai đường thẳng

a] Xét hệ phương trình \[\left\{ \begin{aligned} & -3+2t=5+t' \\ & -2+3t=-1-4t' \\ & 6+4t=20+t' \\ \end{aligned} \right. \]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 2t-t'=8 \\ & 3t+4t'=1 \\ & 4t-t'=14 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & t=3 \\ & t'=-2 \\ \end{aligned} \right. \]

Hệ có nghiệm duy nhất nên hai đường thẳng cắt nhau.

Chú ý: Nếu hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng chéo nhau.

b] Ta có \[\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ 1;1;-1 \right]=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{{{u}_{d'}}}\]

Lấy điểm \[M\left[ 1;2;3 \right]\in d\]. Thay tọa độ điểm M vào đường thẳng d' ta được

\[\left\{ \begin{aligned} & 1=1+2t' \\ & 2=-1+2t' \\ & 3=2-2t' \\ \end{aligned} \right. \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & t'=0 \\ & t'=\dfrac{3}{2} \\ & t'=-\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \] [vô lí]

Hệ vô nghiệm hay M không thuộc d'

Vậy hai đường thẳng song song với nhau.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

LG a

a] d: \[\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\] và     d': \[\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\] ;

Phương pháp giải:

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d'. Gọi \[\overrightarrow a ;\,\overrightarrow {a'} \] lần lượt là VTCP của d và d', \[{M_1} \in d,\,\,{M_2} \in d'\].

Điều kiện để hai đường thẳng d và d' song song: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = k\overrightarrow {a'} \\M \in d,\,\,M \notin d'\end{array} \right.\,\].

Điều kiện để hai đường thẳng d và d' cắt nhau là \[ \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right] \ne  \overrightarrow 0 \] và \[\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\].

Điều kiện để hai đường thẳng d và d' chéo nhau: \[\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  \ne 0\].

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \[d\] đi qua \[M_1[ -3 ; -2 ; 6]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{u_{1}}[2 ; 3 ; 4]\].

Đường thẳng \[d'\] đi qua \[M_2[ 5 ; -1 ; 20]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{u_{2}}[1 ; -4 ; 1]\].

Ta nhận thấy \[\overrightarrow{u_{1}}\], \[\overrightarrow{u_{2}}\] không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ta có \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}&\begin{array}{l}4\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4\\1\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}\end{array}} \right|} \right] = \left[ {19;2; - 11} \right]\] ; \[\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = [8 ; 1 ; 14] \]

Mà \[\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = [19.8 + 2 - 11.14] = 0\] nên \[d\] và \[d'\] cắt nhau.

Cách khác:

Xét hệ phương trình:\[\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & [1]\\ -2+3t=-1-4t' & [2] \\ 6+4t=20+t'& [3] \end{matrix}\right.\]

Từ [1] với [3], trừ vế với vế ta có \[2t = 6 => t = 3\], thay vào [1] có \[t' = -2\].

Từ đó \[d\] và \[d'\] có điểm chung duy nhất \[M[3 ; 7 ; 18]\]. Do đó d và d' cắt nhau tại M.