Điều kiện DE phương trình có 2 nghiệm nguyên phân biệt
|
A.Lý thuyết Show I. Các kiến thức liên quan: 1) Tính chất chia hết của số nguyên. 2) Tính chất của số chính phương. 3) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 4) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có 2 nghiệm x1; x2 thì : ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). II.Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên: - Phương pháp đánh giá +Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến. +Đưa về tổng các bình phương để đánh giá - Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương. - Đổi vai trò của ẩn - Đưa về phương trình ước số. - Tham số hóa để đưa về phương trình ước số. - Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên. - Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét. Bạn đang xem nội dung tài liệu Phương trình bậc hai với nghiệm nguyên, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI NGHIỆM NGUYÊN A.Lý thuyết I. Các kiến thức liên quan: 1) Tính chất chia hết của số nguyên. 2) Tính chất của số chính phương. 3) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 4) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có 2 nghiệm x1; x2 thì : ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2). II.Các phương pháp giải phương trình bậc 2 với nghiệm nguyên: - Phương pháp đánh giá +Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 để chặn khoảng giá trị của biến. +Đưa về tổng các bình phương để đánh giá - Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương. - Đổi vai trò của ẩn - Đưa về phương trình ước số. - Tham số hóa để đưa về phương trình ước số. - Rút ẩn này theo ẩn kia, rồi tách phần nguyên. - Nếu phương trình có các nghiệm đều nguyên ta có thể áp dụng hệ thức Vi-ét. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - xy + y2 = 2x - 3y - 2 ( 1) Giải: Coi (1) là phương trình bậc 2 đối với ẩn y ta được: y2 + ( 3 - x)y + ( x2 - 2x +2 ) = 0 (2) ∆ = - 3x2 + 2x + 1 Để phương trình (2) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 Û - 3x2 + 2x + 1 ≥ 0 Û -1/3 ≤ x ≤ 1 mà x là số nguyên suy ra x Î{0; 1} +) Với x = 0 thay vào (2) ta được y2 + 3y + 2 = 0 ta có y1 = - 1; y2 = -2 +) Với x = 1 thay vào (2) ta được y2 + 2y + 1 = 0 ta có y3 = - 1 Kết luận: Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là : (0; -1); (0; -2); (1; -1) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 3xy - x -y + 3 = 0 (1) Giải: Viết phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với ẩn x ta được x2 + ( 3y - 1)x + ( 2y2 - y + 3) = 0 (2) Có ∆ = y2 - 2y -11 Xét điều kiện cần để phương trình 2 có nghiệm nguyên : ∆ là số chính phương Û y2 - 2y -11 = k2 ( k ÎN) Û (y - 1)2 - k2 = 12 Û ( y - 1 +k)(y - 1 - k) = 12 Do y - 1 + k và y - 1 - k cùng tính chẵn lẻ và y - 1 + k > y - 1 - k nên ta có bảng sau: y - 1 + k 6 -2 y - 1 - k 2 -6 y - 1 4 -4 y 5 -3 +) Với y = 5 thay vào phương trình (2) ta được x2 + 14x + 48 = 0 ta có x1 = -8; x2 = - 6 +) Với y = - 3 thay vào phương trình (2) ta được x2 - 10x + 24 = 0 ta có x3 = 6; x4 = 4 Kết luận: Nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là: ( -8;5); (-6;5); (6;-3); (4;-3). Ví dụ 3:Cho phương trình: ( p là tham số) Tìm các số hữu tỉ p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên. Giải: Phân tích: nếu ta coi là phương trình bậc 2 với ẩn x thì ∆ = -8p2-68p -131 đến đây ta chặn được p nhưng không thể tìm được p. Do đó ta cần đổi vai trò của ẩn Coi phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn p ta có: ∆’ = -2x2 + 5x -2.... Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - 2x - 11 = y2Û (x2 - 2x -1) - y2 = 12 Û (x - 1- y)(x - 1+y) = 12.... Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x - 3y = 2xy -11Û (2x+3)y = 5x + 11 do x nguyên 2x + 3 ≠ 0 Þ y = 2+(x+5)/(2x+3) .... Ví dụ : Giải phương trình nghiệm nguyên (1) ( HSG Bắc Ninh 2012 – 2013) Coi là phương trình bậc 2 ẩn x ta được (x2)2 – x2 (y2 + 4) – 2y4 – 7y2 – 5 = 0 có D = (y2 + 4)2 - 4(– 2y4 – 7y2 – 5 ) = 9y4 + 36y2 +36 = (3y2 + 6)2 nên (1) Û.. NX: Nếu vế phải của (1) là số nguyên khác 0 ta được phương trình ước số. Ví dụ: Tìm các số nguyên dương thoả mãn (1) Nhận xét: Nếu coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x ta được: 2x2 – x(y + 7) – y2 + 2y – 7 = 0 Có: D= (y +7)2 – 4.2(– y2 + 2y – 7 ) = 9y2 +2y + 105 Không thuận lợi. Do đó ta coi phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn y ta được: y2 + y(x – 2) – 2x2 – 7x + 7= 0 Có: D = (x – 2)2 – 4(– 2x2 – 7x + 7) = 9x2 +24x -24 D không là một bình phương vậy xử lý thế nào? Ví dụ 6:Cho phương trình : (m – 1 )x2 - ( 2m + 1 )x + m2 – 2m + 4 = 0 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên . Ví dụ 6: Tìm tất cả các số tự nhiên a sao cho phương trình : x2 - a2 x + a +1 = 0 có nghiệm nguyên . ( Bắc Ninh, ngày 14/7/2001) Giải: Với a = 0 phương trình đã cho vô nghiệm suy ra a Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của PT đã cho. Theo Vi-ét ta có: Với a nếu phương trình có 1 nghiệm nguyên thì nghiệm còn lại cũng là số nguyên Trừ từng vế của (1) và (2) ta được : Vì và nên: ≥ 1 và - 10; - 10(- 1)(- 1) 00 Mà a + 1 > 0 2 - a 0a , do a 0 < a a +) Với a = 1 pt đã cho trở thành x2 - x + 2 = 0 (PT này vô nghiệm) +) Với a = 2 pt đã cho trở thành x2 - 4x + 3 = 0 PT này có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 3 nguyên. Vậy với a = 2 thì PT đã cho có nghiệm nguyên. Bài tập: Bài 1:Tìm tất cả các giá trị nguyên của a sao cho với các giá trị đó phương trình : x2 + ax + a = 0 có nghiệm nguyên . Bài 2:Cho phương trình : (m – 1 )x2 - ( 2m + 1 )x + m2 – 2m + 4 = 0 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có các nghiệm đều là số nguyên . Bài 3:Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình: x 2 – ( 3 + 2a ) x + 40 – a = 0 có nghiệm nguyên. (Vào 10 Bắc Ninh năm học 2001 - 2002) Bài 4: Tìm x, y nguyên thoả mãn: 7x2 + 13y2 = 1820 Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2x6 – 2x3y + y2 = 64 Chuyên ngữ Hà Nội năm 2002 Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau: a) 2xy – 4x – y = 1 b) 2xy –x – y + 1 = 0 c)6x2 + 7y2 = 229 d) 8x2 – 5y2 + 10x + 4 = 0 Bài 7: Tìm các số hữu tỉ x để x2 + x + 6 là số chính phương. Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho: 2(x +y) + xy = x2 + y2 Sư phạm Hà Nội năm học 2007 - 2008 File đính kèm:
Ôn thi vào lớp 10 môn Toán Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện là tài liệu luyện thi không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 9 chuẩn bị thi vào 10 tham khảo. Tài liệu thể hiện chi tiết cách tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện, giúp học sinh có thêm nhiều gợi ý ôn tập, củng cố kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản; học sinh có học lực khá, giỏi nâng cao tư duy và kỹ năng giải đề với các bài tập vận dụng nâng cao. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu: Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 môn Toán. 1. Định lý Vi-ét thuậnCho phương trình bậc 2 một ẩn:  Hệ quả: Dựa vào hệ thức Vi-ét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt sau: + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm + Nếu a – b + c = 0 thì phương trình * có 2 nghiệm 2. Định lý Vi-ét đảoGiả sử hai số thực thỏa mãn hệ thức: thì là hai nghiệm của phương trình bậc hai 3. Cách giải bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước+ Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là + Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho + Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. 4. Ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện cho trướcBài 1 Bài 3: Tìm m để phương trình Gợi ý đáp án: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Ta có Với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: Ta có Có Vậy với Bài 4: Cho phương trình Gợi ý đáp án: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Ta có Vậy với Có Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn Bài 2: Cho phương trình bậc hai a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m, b) Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình có tổng hai nghiệm bằng 6 Gợi ý đáp án: a) Ta có: Vậy với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: Ta có tổng hai nghiệm bằng 6 Vậy với m = 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn tổng hai nghiệm bằng 6. Bài 3: Cho phương trình a, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b, Tìm m để hai nghiệm phân biệt của phương trình thỏa mãn Gợi ý đáp án: a, Ta có Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b, Với mọi m thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét: Ta có: Dấu “=” xảy ra khi Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt đạt giá trị nhỏ nhất. |
