Đề bài
Câu 1 [5,0 điểm]: Giải các bất phương trình sau:
a] \[\dfrac{{{x^2} - 5x + 6}}{{5 - {x^2}}} \ge 0\]
b] \[\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x - 1}} < 0\]
c] \[{\left[ {\left| {x - 3} \right| - 1} \right]^2} > {x^2}\]
Câu 2 [1,5 điểm]: Tìm \[m\] để bất phương trình \[{x^2} - 2\left[ {m - \dfrac{2}{3}} \right]x - m + \dfrac{{20}}{3} \ge 0\] có nghiệm tùy ý.
Câu 3 [2,0 điểm]: Giải hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - 3x}}{{4x - 1}} \le 0\\{\left[ {x + 1} \right]^2} - 16 > 0\end{array} \right.\].
Câu 4 [1,5 điểm]: Tìm \[m\] để phương trình \[m{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + 2 = 0\] có nghiệm âm.
Lời giải chi tiết
Câu 1 [VD] - Bất phương trình
Phương pháp:
a] Tìm ĐKXĐ. Lập bảng xét dấu để tìm tập nghiệm của bất phương trình.
b] Quy đồng và áp dụng: Nếu \[\dfrac{a}{b} < 0\] và \[a > 0\] thì \[b < 0\].
c] Phá dấu giá trị tuyệt đối, giải các bất phương trình nhận được và kết luận tập nhiệm: \[\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,{\mathop{\rm khi}\nolimits} \,\,a \ge 0\\ - a\,\,{\mathop{\rm khi}\nolimits} \,\,a < 0\end{array} \right.\]
Cách giải:
Giải các bất phương trình sau:
a] \[\dfrac{{{x^2} - 5x + 6}}{{5 - {x^2}}} \ge 0\]
\[\dfrac{{{x^2} - 5x + 6}}{{5 - {x^2}}} \ge 0\]
ĐKXĐ: \[5 - {x^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm \sqrt 5 \]
Ta có bảng xét dấu:
Để \[\dfrac{{{x^2} - 5x + 6}}{{5 - {x^2}}} \ge 0\] thì \[x \in \left[ { - \sqrt 5 ;\,\,2} \right] \cup \left[ {\sqrt 5 ;\,\,3} \right]\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ { - \sqrt 5 ;\,\,2} \right] \cup \left[ {\sqrt 5 ;\,\,3} \right]\].
b] \[\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x - 1}} < 0\]
\[\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x - 1}} < 0\] ĐKXĐ: \[x \ne 1;\,\,x \ne 2\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left[ {x - 1} \right] - \left[ {x - 2} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right].\left[ {x - 2} \right]}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1 - x + 2}}{{\left[ {x - 1} \right].\left[ {x - 2} \right]}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left[ {x - 1} \right].\left[ {x - 2} \right]}} < 0\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {x - 1} \right].\left[ {x - 2} \right] < 0\,\,\,\left[ {{\rm{vì }}\,\,1 > 0} \right]\\ \Leftrightarrow 1 < x < 2\end{array}\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ {1;\,\,2} \right]\].
c] \[{\left[ {\left| {x - 3} \right| - 1} \right]^2} > {x^2}\]
TH1: \[x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\]
Bất phương trình \[ \Leftrightarrow {\left[ {x - 4} \right]^2} > {x^2}\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 > {x^2}\]
\[ \Leftrightarrow - 8x + 16 > 0\]
\[ \Leftrightarrow x < 2\]
Mà \[x \ge 3 \Rightarrow x \in \left\{ \emptyset \right\}\].
TH2: \[x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3\]
Bất phương trình \[ \Leftrightarrow {\left[ {2 - x} \right]^2} > {x^2}\]
\[ \Leftrightarrow 4 - 4x + {x^2} > {x^2}\]
\[ \Leftrightarrow 4 - 4x > 0\]
\[ \Leftrightarrow x < 1\]
Mà \[x < 3 \Rightarrow x < 1\].
Kết hợp cả hai trường hợp ta được tập nghiệm của bất phương trình là: \[S = \left[ { - \infty ;\,\,1} \right]\]
Câu 2 [VD] - Bất phương trình
Phương pháp:
Áp dụng: \[f\left[ x \right] = {a^2}x + bx + c \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\]
Cách giải:
Tìm \[m\] để bất phương trình \[{x^2} - 2\left[ {m - \dfrac{2}{3}} \right]x - m + \dfrac{{20}}{3} \ge 0\] có nghiệm tùy ý.
Bất phương trình \[{x^2} - 2\left[ {m - \dfrac{2}{3}} \right]x - m + \dfrac{{20}}{3} \ge 0\] có nghiệm tùy ý khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\].
+] \[a = 1 > 0\] luôn đúng
+] \[\Delta \le 0\]
\[\begin{array}{l}\Delta \le 0 \Leftrightarrow 4{\left[ {m - \dfrac{2}{3}} \right]^2} - 4.1.\left[ { - m + \dfrac{{20}}{3}} \right] \le 0\\\, \Leftrightarrow 4\left[ {{m^2} - \dfrac{4}{3}m + \dfrac{4}{9}} \right] + 4m - \dfrac{{80}}{3} \le 0\\\, \Leftrightarrow 4{m^2} - \dfrac{{16}}{3}m + \dfrac{{16}}{9} + 4m - \dfrac{{80}}{3} \le 0\\\, \Leftrightarrow 4{m^2} - \dfrac{4}{3}m - \dfrac{{224}}{9} \le 0\\\, \Leftrightarrow - \dfrac{7}{3} \le m \le \dfrac{8}{3}\end{array}\]
Vậy \[ - \dfrac{7}{3} \le m \le \dfrac{8}{3}\].
Câu 3 [VD] - Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
Phương pháp:
Giải từng bất phương trình sau đó kết hợp nghiệm.
Cách giải:
Giải hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - 3x}}{{4x - 1}} \le 0\\{\left[ {x + 1} \right]^2} - 16 > 0\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - 3x}}{{4x - 1}} \le 0\\{\left[ {x + 1} \right]^2} - 16 > 0\end{array} \right.\]
ĐKXĐ: \[4x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{1}{4}\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - 3x}}{{4x - 1}} \le 0\\{x^2} + 2x + 1 - 16 > 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - 3x}}{{4x - 1}} \le 0\\{x^2} + 2x - 15 > 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2 - 3x \ge 0\\4x - 1 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2 - 3x \le 0\\4x - 1 > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x < - 5\\x > 3\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < \dfrac{1}{4}\\x \ge \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x < - 5\\x > 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 5\\x > 3\end{array} \right.\]
Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm \[S = \left[ { - \infty ;\,\, - 5} \right] \cup \left[ {3;\,\, + \infty } \right]\].
Câu 4 [VDC] - Phương trình quy về phương trình bậc hai
Phương pháp:
Xác định điều kiện của \[m\] để phương trình có hai nghiệm trái dấu và hai nghiệm âm.
Cách giải:
Tìm \[m\] để phương trình \[m{x^2} - 2\left[ {m + 1} \right]x + 2 = 0\,\,\,\left[ 1 \right]\] có nghiệm âm.
+] \[m = 0\]: PT \[\left[ 1 \right]\] trở thành: \[ - 2x + 2 = 0\]\[ \Leftrightarrow x = 1 > 0\] [không thỏa mãn]
+] \[m \ne 0\]
\[\Delta = 4{\left[ {m + 1} \right]^2} - 4.m.2\]\[ = 4{m^2} + 4 > 0\] với mọi \[m\]
\[ \Rightarrow \] Phương trình \[\left[ 1 \right]\] có hai nghiệm phân biệt với \[m \ne 0\].
PT \[\left[ 1 \right]\] có \[1\] nghiệm âm \[ \Leftrightarrow \]PT \[\left[ 1 \right]\] có hai nghiệm trái dấu \[ \Leftrightarrow \]\[ac < 0 \Leftrightarrow 2m < 0\]\[ \Leftrightarrow m < 0\].
PT \[\left[ 1 \right]\] có \[2\] nghiệm âm \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P > 0\\S < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{m} > 0\\\dfrac{{2\left[ {m + 1} \right]}}{m} < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 1 < m < 0\end{array} \right.\,\,\,\left[ {ktm} \right]\]
Vậy \[m < 0\] thì phương trình \[\left[ 1 \right]\] có nghiệm âm.