Đề bài
Cho tam giác cân \[ABC [AB = AC]\], vẽ các đường cao \[BH, CK\] [h.53].
a] Chứng minh \[BK = CH\].
b] Chứng minh \[KH//BC\].
c] Cho biết \[BC = a, AB = AC = b\]. Tính độ dài đoạn thẳng \[HK\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hướng dẫn câu c]:
- Vẽ thêm đường cao \[AI\], xét hai tam giác đồng dạng \[IAC\] và \[HBC\] rồi tính \[CH\].
- Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng \[AKH\] và \[ABC\] rồi tính \[HK\].
Lời giải chi tiết
a] Xét hai tam giác vuông \[BKC\] và \[CHB\], ta có \[\widehat B = \widehat C\] [vì \[AB = AC\]]
\[BC\] là cạnh huyền chung.
Suy ra \[\Delta BKC = \Delta CHB \Rightarrow BK = CH\]
b] Từ giả thiết \[AB = AC\] và \[BK = CH\] [theo chứng minh trên] suy ra \[AK = AH\], ta có \[\dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow KH//BC\]
c] Vẽ thêm đường cao \[AI\]; \[AI,BH,CK\] đồng quy tại \[O\].
\[\Delta IAC \sim \Delta HBC\] [vì \[\widehat I = \widehat H = {90^0}\], góc \[\widehat C\] chung].
Suy ra \[\dfrac{{IC}}{{HC}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}\] hay \[\dfrac{{\dfrac{1}{2}a}}{{HC}} = \dfrac{b}{a} \Rightarrow HC = \dfrac{{{a^2}}}{{2b}}\]
\[ \Rightarrow AH = b - \dfrac{{{a^2}}}{{2b}} = \dfrac{{2{b^2} - {a^2}}}{{2b}}\]
Từ \[KH//BC\] suy ra \[\dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{KH}}{{BC}}\] \[ \Rightarrow KH = \dfrac{{AH.BC}}{{AC}} = \left[ {\dfrac{{2{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right].\dfrac{a}{b}\] \[ = a - \dfrac{{{a^3}}}{{2{b^2}}}\]