Đề bài
Chứng minh rằng hàm số \[f\left[ x \right]\] cho bởi \[f[x] = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} ,x \in \mathbb{R}\] là hàm số chẵn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đặt \[t = - s\] suy ra tích phân mới theo biến \[s\], chứng minh \[f\left[ { - x} \right] = f\left[ x \right]\].
Chú ý công thức: \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left[ t \right]dt} \].
Lời giải chi tiết
Đặt \[t = - {\rm{ }}s\] ta có \[dt = - ds\], đổi cận \[t = 0 \Rightarrow s = 0\], \[t = x \Rightarrow s = - x\].
Suy ra \[f[x] = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} \] \[ = \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{{ - s}}{{\sqrt {1 + {{\left[ { - s} \right]}^4}} }}\left[ { - ds} \right]} \]\[ = \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{s}{{\sqrt {1 + {{\left[ { - s} \right]}^4}} }}ds} = f\left[ { - x} \right]\]
Do đó \[f\left[ x \right] = f\left[ { - x} \right],\forall x \in \mathbb{R}\], suy ra hàm số \[y = f\left[ x \right]\] là hàm số chẵn.