Đường tròn ngoại tiếp tam giác hay còn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.
Ví dụ: △ABC trên nội tiếp đường tròn [O, R =OA].
II. TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC LÀ GÌ?
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó [có thể là 2 đường trung trực] do vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm đến 3 đỉnh của tam giác.
Ví dụ: Đường tròn [O, R] ngoại tiếp △ABC có tâm là điểm O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác.
Ngoài ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là chính trung điểm của cạnh huyền tam giác vuông ấy.
Ví dụ: Đường tròn [O, R] ngoại tiếp △MNP vuông tại P có tâm là điểm O, là trung điểm của cạnh huyền MN.
Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác do tính chất của tam giác đều.
Ví dụ: Đường tròn tròn ngoại tiếp và nội tiếp △EFG đều có tâm là điểm O vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác.
III. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó [có thể là 2 đường trung trực]
Ngoài ra có 2 cách để xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:
Cách 1:
Khi biết tọa độ 3 điểm của tam giác, cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:
Bước 1: Gọi tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC đã cho là O[x, y]. Khi đó, ta có OA = OB = OC = R.
Bước 2: Tọa độ tâm O[x, y] là nghiệm của hệ phương trình \[\begin{cases}OA^2 = OB^2 \\ OA^2= OC^2\end{cases}\]. Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm O[x, y] của đường tròn ngoại tiếp △ABC đã cho.
Cách 2:
Bước 1: Thiết lập phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.
Bước 2: Giao điểm của hai đường trung trực vừa viết trên chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC
Ví dụ: Cho △ABC với A[1;2], B[-1;0], C[3;2]. Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC.
Lời giải tham khảo:
Gọi O[x, y] là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC, ta có:
\[\overrightarrow{OA} = [1-x;2-y]\] ⇒ \[OA= \sqrt{[1-x]^2 + [2-y]^2}\]
\[\overrightarrow{OB} = [-1-x;-y]\] ⇒ \[OB= \sqrt{[-1-x]^2 + y^2}\]
\[\overrightarrow{OC} = [3-x;2-y]\] ⇒ \[OC= \sqrt{[3-x]^2 + [2-y]^2}\]
Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC nên ta có:
\[OA=OB=OC⇔\begin{cases}OA^2 = OB^2 \\ OA^2= OC^2\end{cases}⇔\begin{cases}[1-x]^2 + [2-y]^2 =[-1-x]^2 + y^2 \\ [1-x]^2 + [2-y]^2= [3-x]^2 + [2-y]^2 \end{cases}\]
\[⇔\begin{cases}x = 2 \\ y= -1 \end{cases}\]
Tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp △ABC là O[2;-1].
Tâm đường ngoại tiếp tam giác là gì? Lý thuyết và cách giải các dạng toán về tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác như nào? Cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác? Cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề này qua bài viết dưới đây nhé!
Lý thuyết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Tổng quát về tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là đường tròn đi qua các đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó
Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cách 1:
- Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.
- Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường trung trực này, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cách 2:
- Bước 1: Gọi \[I[x;y]\] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có \[IA=IB=IC=R\]
- Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{\begin{matrix} IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2 \end{matrix}\right.\]
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân tại A nằm trên đường cao AH
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cho tam giác ABC
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC
Ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:
\[R=\frac{a.b.c}{4S}\]
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.
- Bước 1: Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c [Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm]Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a,b,c
- Bước 2: Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
- Bước 3: Do \[A,B,C \epsilon [C]\] nên ta có hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} x_{A}^{2} + y_{A}^{2} – 2ax_{A} – 2by_{A} + c = 0\\ x_{B}^{2} + y_{B}^{2} – 2ax_{B} – 2by_{B} + c = 0\\ x_{C}^{2} + y_{C}^{2} – 2ax_{C} – 2by_{C} + c = 0 \end{matrix}\right.\]
- => Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.
- Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình [C] ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng 1: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh
VD: Cho tam giác ABC với \[A[1;2], B[-1;0], C[3;2]\]. Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cách giải:
Gọi \[I[x;y]\] là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
\[\underset{IA}{\rightarrow} = [1-x;2-y] \Rightarrow IA= \sqrt{[1-x]^2+[2-y]^2}\]
\[\underset{IB}{\rightarrow} = [-1-x;-y] \Rightarrow IB= \sqrt{[1-x]^2+y^2}\]
\[\underset{IC}{\rightarrow} = [3-x;2-y] \Rightarrow IC= \sqrt{[3-x]^2+[2-y]^2}\]
Vì I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:
\[IA=IB=IC \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [1-x]^2 + [2-y]^2 = [-1-x]^2 +y^2\\ [1-x]^2 + [2-y]^2 = [3-x]^2 + [2-y]^2 \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right.\]
Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \[I[2;-1]\]
Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
VD: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cách giải:
Ta có: \[p=\frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{3 + 7 + 8}{2} = 9\]
Áp dụng công thức Herong:
\[S=\sqrt{p[p-AB][p-AC][p-BC]} = \sqrt{9[9-3][9-7][9-8]} = 6\sqrt{3}\]
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
\[R=\frac{AB.AC.BC}{4S} = \frac{3.7.8}{4.6\sqrt{3}}\]
Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh
VD: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A[-1;2] B[6;1] C[-2;5]
Cách giải:
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:
\[[C] x^2 + y^2 -2ax -2by +c =0\]
Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn [C] ta được hệ phương trình:
\[\left\{\begin{matrix} 2a-4b+c=-5\\ 12a+2b-c=37\\ 4a-10b+c=-29 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=5\\ c=9 \end{matrix}\right.\]
Do đó, Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I [3;5] bán kính R = 5 là:
\[x^2+y^2-6x-10y+9=0\] hoặc \[[x-3]^2+[y-5]^2=25\]
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình tìm tòi và nghiên cứu của bản thân về kiến thức tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem thêm >>> Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Please follow and like us: