Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
1. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
Cho hàm số bậc ba $y=f[x]=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị gọi là đường cong $[C]$ và $$y=f'[x]=3ax^2+2bx+c$$
Nhận thấy $y$ là một tam thức bậc hai có $$\Delta_{y}=b^2-3ac.$$ Do đó. có hai khả năng sau:
- Nếu $\Delta \leq 0$ thì hàm số không có cực trị.
- Nếu $\Delta >0 $ thì hàm số có hai điểm cực trị. Khi đó, đồ thị hàm số cũng có hai điểm cực trị và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm này là \[y=kx+m,\] trong đó $kx+m$ là phần dư khi chia đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ cho $3ax^2+2bx+c$ [tức là phần dư khi chia $y$ cho $y$].
Thật vậy, giả sử phương trình \[f'[x]=0\] có hai nghiệm phân biệt \[x_1, x_2\] thì ta có $f'[x_1] = f'[x_2]=0$ và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng \[A[x_1; f[x_1]]\], \[B[x_2; f[x_2]]\].
Thực hiện phép chia \[f[x]\] cho \[f'[x]\] và giả sử ta được thương \[q[x]\] và dư là \[r[x]\] [$r[x]$ có dạng $kx+m$] tức là \[f[x]=q[x]\cdot f'[x]+r[x].\]
Suy ra, $$f[x_1]=q[x_1]\cdot f'[x_1]+r[x_1]=r[x_1],$$ vì $f'[x_1]=0$. Hay toạ điểm $A$ là $[x_1,r[x_1]]$. Tương tự tính được toạ độ điểm $B$ là $[x_2,r[x_2]]$.
Như vậy toạ độ hai điểm \[A, B\] đều thỏa mãn phương trình \[y=r[x]=kx+m\] hay đường thẳng \[y=kx+m\] chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.
2. Ví dụ minh hoạ
Đề bài. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \[y=f[x]=x^3-2x^2-x+1\].
Hướng dẫn. Ta có \[f'[x]=3x^2-4x-1\]. Thực hiện phép chia đa thức \[f[x]\] cho \[f'[x]\] ta được thương là \[\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\] và dư là \[-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\].
Suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \[y=-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\].
Chú ý. Nếu phương trình $y=0$ có hai nghiệm đẹp thì ta dễ dàng tìm được toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và do đó việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này khá dễ dàng.
Xem thêm:Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng