Định lý : Cho tam thức bậc hai f[x] = ax2 + bx + c , ∆ = b2 – 4ac
• Nếu ∆ < 0="" thì="" tam="" thức="" cùng="" dấu="">∀x
• Nếu ∆ = 0 thì tam thức cùng dấu a ∀x khác
-b/2a
và bằng 0 khi x =-b/2a
• Nếu ∆ > 0 thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2="" ,="" trái="" dấu="" a="" với="" mọi="" x="" thuộc="" khoảng="" [x1="" ,="" x2]="" và="" cùng="" dấu="" a="" với="" mọi="" x="" ở="" ngoài="" đoạn="" [x1="" ;="">
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bất phương trình bậc hai và bất phương trình qui về bậc hai", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
21 VẤN ĐỀ 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI & BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC HAI 22 Vấn đề 2 Bất Phương Trình Bậc Hai & Bất Phương Trình Qui Về Bậc Hai A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Định lý: Định lý : Cho tam thức bậc hai f[x] = ax2 + bx + c , ∆ = b2 – 4ac • Nếu ∆ < 0 thì tam thức cùng dấu ∀x • Nếu ∆ = 0 thì tam thức cùng dấu a ∀x khác 2 b a − và bằng 0 khi x = 2 b a − • Nếu ∆ > 0 thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2 , trái dấu a với mọi x thuộc khoảng [x1 , x2] và cùng dấu a với mọi x ở ngoài đoạn [x1 ; x2] Tóm tắt : • ∆ 0 , ∀x ∈ R • ∆ = 0 : af[x] > 0 ∀x ≠ 2 b a − ; f 2 b a ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ = 0 • ∆ > 0 : af[x] < 0 ∀x ∈ [x1 ; x2] af[x] > 0 ∀x ∈ [-∞ ; x1] ∪ [x2 ; +∞ ] 23 II. Bất phương trình bậc hai là 1 bất phương trình có dạng ax2 + bx + c > 0 [hoặc ≥ 0 ; < 0 ; ≤ 0] Để giải bất phương trình bậc hai ta có thể dựa vào dấu của a và ∆ rồi tuỳ theo trường hợp mà rút ra tập nghiệm của bất phương trình đó. Trong trường hợp giải và biện luận bất phương trình : Ta cần phải lập bảng xét dấu của a và ∆ trưóc, rồi kế đó giải bất phương trình trong từng trường hợp III.Tam thức không đổi dấu trên R Từ định lý về dấu của tam thức bậc hai ta suy ra kết quả sau : Cho f[x] = ax2 + bx + c với a ≠ 0 • f[x] > 0 ∀x∈R 0 0 a >⎧⇔ ⎨∆ ⎧⇔ ⎨∆ ≤⎩ • f[x] < 0 ∀x∈R 0 0 a ∆ < 0 0a , f[x] có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 x1,2 = m2 ]3m[ ∆±−− [1] ⇔ x x2 28 * m = 1− : [1] ⇔ 0]2x[04x4x 22 0 0a , f[x] có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ x1 < x < x2 . * m = 0 , [1] ⇔ 3x3 −− 1− Kết luận chung : m = 0 : x > 1− Rx:1m ∈−< m ≥ 3 : x ∈ ∅ -1 x2 1m −= : x ≠ 2− 0 < m < 3 : x1 < x< x2 Bài 7 Định m để với mọi x ta luôn có : a] 7x5x 5x7x2 2 2 +− +− ≤ m b] 6 1xx 6mxx39 2 2 −= ≥++−=∆ 02ma 09m6m3 2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ > ≤≤− 2m 3m1 ⇔ 2 < m ≤ 3 b] 6 1xx 6mxx39 2 2 ++− >+−+ 012x]6m[x3 03x]9m[x12 2 2 ]3[ ]2[ [1] thoả ∈∀x R ⇔ [2] , [3] thoả ∈∀x R ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 0 0a : f[x] ≥ 0 ∀x ≤ x1 ∨ x ≥ x2 • m = 1 ⎩⎨ ⎧ =∆ > 0 0a : f[x] = 0 ⇔ x = 0 • m > 1 ⎩⎨ ⎧ 0 0a : f[x] ≥ 0 ∀x ∈ R 33 Bài 12 Giải và biện luận : mx2 + [m + 3]x + 3 ≥ 0 Giải • m = 0 : bất phương trình ⇔ 3x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1 • m ≠ 0 : ∆ = [m + 3]2 – 4.3.m = [m – 3]2 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −++−= −−+−= m2 |3m|]3m[x m2 |3m|]3m[x 2 1 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −= m 3x 1x 2 1 Xét h = -1 - ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− m 3 = 1 m 3 − = m m3 − = x1 - x2 M 0 3 ∆ + | + 0 + A - 0 + | + H - || + 0 - Kết luận : • m = 0 : bất phương trình ⇔ x ≥ -1 • m < 0 : bất phương trình ⇔ -1 ≤ x ≤ - m 3 • 0 < m < 3 : bất phương trình ⇔ x ≤ - m 3 ∨ x ≥ -1 • m > 3 : bất phương trình ⇔ x ≤ -1 ∨ x ≥ - m 3 • m = 3 : bất phương trình ⇔ x ∈ R Bài 13 Cho 2f [x] m[m 3]x 2mx 2= + + + Định m để bpt : 2f [x] mx> có tập nghiệm là R Giải Tacó : 2 2m[m 3]x 2mx 2 mx , x R+ + + > ∀ ∈ 2 2[m 2m]x 2mx 2 0, x R⇔ + + + > ∀ ∈ Xét m 0≠ và m 2≠ − : 34 Xét : m 0 m 2 =⎡⎢ = −⎣ YCĐB ' 0 m[m 4] 0 a 0 m[m 2] 0 ∆ + >⎩ ⎩ m 4 m 0 m 2 m 0 ⎧⇔ ⎨ ⎩ m 4 m 0 [b] ⇔ Kết luận : [a] [b] m 4 m 0 ∨ ⇔ < − ∨ ≥ * m 0 : 2 0,= > đúng x R∀ ∈ Vậy : m 0= [nhận] [a] * 1m 2 : 4x 2 0 x 2 = − − + > ⇔ < [không thỏa] Bài 14 Định m để phương trình sau vô nghiệm : 2 2 1 1x 2m x 2m 0 xx ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Giải Đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 1t x t x 2 x t 2 x x x t 2 t 2 t 2 ⎧ = + ⇒ = + + ⇒ + = −⎪⎨⎪ ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥⎩ [1]⇔ g[t] = 2t 2mt 2m 2 0 t 2 t 2 ⎧ − + − =⎪⎨ ≤ − ∨ ≥⎪⎩ Theo YCĐB 1 2 g 0 2 t t 2 ∆ 0 : minf[t] = f[ m− 1− ] f[ m− 1− ] ≤ 0 ⇔ m2 – m – 2 ≤ 0 ⇔ 1− ≤ m ≤ 2 [loại] Trường hợp 2 : t < 0 f[t] = t2 + 2[m-1]t + 2m2 + m –1 Tương tự ta được : min f[t] ≤ 0 ⇔ 2 1m1 0 Bài 4 Giải các bất phương trình sau : a] 3x3 < x2 + x + 1 b] x4 – x2 + 10x < 25 c] x4 – 5x3 + 8x2 – 10x + 4 2 Hướng dẫn : c ] Chia hai vế cho x2, đặt t = x + x 2 ; 2 - 2 < x < 2 + 2 d] Đặt t = x + 3x 2 51 +=+ 40 Bài 5 Giảivà biện luận theo tham số m bất phương trình : [ ] [ ]24 2 1 1 0f x x m m x m m= − + + + + < Bài 6 Cho bất phương trình f[x] = x2 + 6x + 7 + m ≤ 0 [1] a] Giải và biện kuận [1] b] Tìm m sao cho [1] có đúng 1 nghiệm số c] Tìm m sao cho [1] có 1 đoạn nghiệm d] Tìm m sao cho [1] coÙ 1đoạn nghiệm có chiều daì bằng 1 Bài 7 Cho bất phương trình [4m – 3]x2 – 2[m + 1]x – m – 1 ≥ 0 [1] a] Giải và biện luận [1] b] Tìm m sao cho [1] vô nghiệm , có đúng 1 nghiệm , có 1 đoạn nghiệm , có 2 khoảng nghiệm c] Tìm m sao cho đoạn nghiệm có chiều daì bằng 2 Bài 8 Cho bất phương trình f[x] = [m2 –1 ]x2 – [m – 1]x + 2 ≥ 0 [1] Tìm m sao cho bpt [1] có nghiệm là 1 đoạn và có chiều daì bằng 1 Bài 9 Tìm m để x2 + 2|x – m| + m2 + m – 1 ≤ 0 có nghiệm. Bài 10 Cho 2f [x] [x 1] [x 3] [x 4x 16] m= + + + + ≥ Tìm m để bất phương trình a. Có tập nghiệm là R b. Có nghiệm c. Vô nghiệm Bài 11 Xác định m để bất đẳng thức : x2 – 2x + 1 - m2 ≤ 0 thỏa mãn ∀ , x ∈[ ]2 1 , [Đại Học Kiến Trúc] 41 Bài 12 Cho bất phương trình : x4 – 4x3 + 3x2 + 2x < m [1] a] Giải bất phương trình với m = 2. b] Tìm m để bất phương trình có nghiệm. Bài 13 Tìm m để x2 – m[1 + m2]x + m4 0 Bài 14 Tìm m để mọi nghiệm của 2x2 – [1 + 3m]x + m2 + m = 0 đều thỏa điều kiện : x2 – mx – 3m – 1 ≥ 0 Bài 15 Cho f[x] = x2 + 6x + 7 + m . Tìm m để f[x] ≤ 0 có đúng một nghiệm . Tìm m để f[x] ≤ 0 có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1. Bài 16 Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình sau : |x2 + 2x| ≤ |x2 + 3x + 2a| Bài 17 Tìm m để với mọi x thì có : x2 + 2mx + 2|x + m| + 2 > 0 Bài 18 Giải và biện luận bất phương trình sau : |x2 + 3x + 2| < m Bài 19 Tìm m để [2m + 2]x2 – 9[16m + 9]x + 6[2m + 1] = 0 có đúng một nghiệm trong [0 , 1] Bài 20 Tìm m để 2x2 – 3x + 2m = 0 có một nghiệm khác 0 và gấp 3 lần một nghiệm của : 2x2 – x + 2m = 0 Bài 21 Tìm m để với mọi x thì : -6 ≤ 1xx 4mxx2 2 2 +− −+ ≤ 4 Bài 22 Định m để : 2 4x2x mxx 2 2 ≥++ + 42 Bài 23 Định m để : -x2 + 2[m - 1]x - 4m < 0 , ∀x∈R Bài 24 Định m để bất phương trình : [1 - m]x2 + 2mx + [m - 6] ≥ 0 a] Có nghiệm b] Vô nghiệm c] Có duy nhất nghiệm Bài 25 Cho f[x] = ax2 + bx + c [a ≠ 0]. Giả sử phương trình f[x] = x vô nghiệm. Chứng minh phương trình f[f[x]] = x vô nghiệm. Bài 26 Cho f[x] = x2 + 2[sint + cost]x + 1. Tìm x để f[t] ≥ 0 với mọi t ∈ R. Tìm t để f[x] ≥ 0 với mọi x ∈ R. Bài 27 Tìm m để 25[x2 + y2] + ,xy – [x + y] + 100 1 ≥ 0 với mọi x ± y = 0 Bài 28 Cho m c 1m b 2m a ++++ = 0 và m > 0 . Chứng minh rằng : ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x ∈ [0 ,1] Bài 29 Cho f[x] = ax2 + bx + c thỏa |f[0]| ≤ 1 , |f[±1]| ≤ 1 . Tình a , b , c theo f[0] , f[±1]. Chứng minh |f[x]| ≤ 4 5 khi |x| ≤ 1 . Bài 30 Cho f[x] = ax2 + bx + c [a ≠ 0] thỏa |f[x]| ≤ 1 khi |x| ≤ 1 . Chứng minh |cx2 + bx + a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1. Bài 31 Chứng minh với ∆ABC thì : x2 – 2x[cosB + cosC] + 2[1 – cosA] ≥ 0 , ∀x.