Brownian motion là gì

X τ t − τ

1.2.6 Chuyển động Brown hình học

Giá của cổ phiếu không thể âm (thậm chí ta sẽ coi nó là luôn dương, tuy trong thực tế nó có thể về 0 khi công ty phá sản), nên nó không thể là chuyển động Brown, bởi vì các

(3)Paul Lévy (1886–1971) là nhà toán học Pháp nổi tiếng về các công trình về xác suất, xem: http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Pierre_Lévy

(4)Một quá trìnhStđược gọi là martingale nếuE(|St|)<∞với mọit, và thỏa mãn tính chất martingale E(St|Fs) =Ss.Điều kiệnE(|St|)<∞là “hiển nhiên” đối với các quá trình thực tế, được cho thêm vào trong định nghĩa cho chặt chẽ về mặt toán học.

quĩ đạo của chuyển động Brown xuống âm bao nhiêu cũng được. Thế nhưng, nếu ta lấy log của giá cổ phiếu, thì nó có thể âm, và có thể hình dung là chuyển động theo thời gian của log của giá cổ phiếu dưới tác động của các lực ngẫu nhiên ảnh hưởng tức thời trên thị trường tương tự như là chuyển động Brown. Bởi vậy, khái niệm chuyển động Brown hình học sau sẽ quan trọng trong việc mô tả sự biến động của giá cổ phiếu:

Định nghĩa 1.3. Nếu Bt là một chuyển động Brown chuẩn tắc, và a, b, σ là các hằng số (σ >0), thì quá trình ngẫu nhiênexp(a+bt+σBt)được gọi là mộtchuyển động Brown hình học (geometric Brownian motion). Nói cách khác, một quá trình ngẫu nhiên Gt

được gọi là một chuyển động Brown hình học khi và chỉ khi lnGt là một chuyển động Brown (không nhất thiết chuẩn tắc).

Một biến ngẫu nhiên X chỉ nhận giá trị dương được gọi là có phân bố xác suất log- normal nếu như lnX có phân bố xác suất normal. Từ định nghĩa trên, ta có ngay hệ quả sau: nếuGt là một chuyển động Brown hình học, vàt > s, thìGt/Gs có phân bố xác suất log-normal.

Chú ý rằng, tuy chuyển động Brown Bt là martingale, nhưng exp(Bt) không phải là martingale. Thật vậy, ta có E(exp(Bt)) = √1 2πt Z ∞ −∞ exe−x2/2tdx= √1 2πt Z ∞ −∞ et/2e−(x−t)2/2tdx=et/2 (1.54) tăng theo thời gian, chứ không bất biến, và do đó nó không thể là martingale. Tuy nhiên, đẳng thức trên cũng cho thấyE(exp(Bt−t/2)) = 1 là bất biến theo thời gian. Hơn nữa, ta có:

Định lý 1.8. (Định lý và định nghĩa). Nếu Bt là chuyển động Brown thì quá trình ngẫu nhiên exp(Bt−t/2) là martingale. Quá trình ngẫu nhiên exp(Bt−t/2) này được gọi là

chuyển động Brown hình học chuẩn tắc.

Chứng minh. Phía trên ta đã kiểm tra rằng E(Gt|F0) =G0 = 1, trong đóGt = exp(Bt−

t/2)là chuyển động Brown hình học chuẩn tắc. Việc kiểm tra đẳng thứcE(Gt+s|Fs) =Gs

với mọis ≥0, t > 0hoàn toàn tương tự, dựa trên tính chất của chuyển động Brown Bt. Thật vậy, khi s cố định, thì Gt+s/Gs = exp(Bt+s−Bs−t/2) cũng là một chuyển động Brown hình học chuẩn tắc, vìBt+s−Bs cũng là một chuyển động Brown hình học, do đó ta có đẳng thức trên.

Bài tập 1.8. Giả sử µlà một hằng số tùy ý. Chứng minh rằng quá trình exp(µBt− µ22t), trong đó Bt là chuyển động Brown chuẩn tắc, là một quá trình martingale.