Biện pháp cơ bản để có giá trị tuyệt đối?

Khái niệm phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là gì? Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số? Cách lập bảng xét dấu giá trị tuyệt đối? Ví dụ và cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối như nào? Cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề trên qua bài viết dưới đây nhé!

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là gì?

Tìm hiểu phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta cần nắm được kiến thức về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

• Giá trị tuyệt đối của số x, kí hiệu là \[\left | x \right |\] được định nghĩa như sau:

\[\left | x \right | = \left\{\begin{matrix} x \, khi\, x\geq 0\\ – x\, khi\, x = 0 \end{matrix}\right.\]

Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

• Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là phương trình có dạng:

\[\left | f[x] \right | = \left | g[x] \right |\] hoặc \[\left | f[x] \right | = g[x]\]

• Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:

• Dùng định nghĩa hoặc tính chất của giá trị tuyệt đối.
• Bình phương hai vế của phương trình.
• Đặt ẩn phụ.

Bài tập phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và cách giải

Dạng 1: Giải phương trình \[\left | f[x] \right | = b\, [b\geq 0]\]

Phương pháp :

\[\left | f[x] \right | = b \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left | f[x] \right | = b\\ \left | f[x] \right | = -b \end{matrix}\right.\]

Ví dụ 1: Giải phương trình \[\left | 3x + 1 \right | = 5\]

Giải:

\[\left | 3x+1 \right | = 5 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3x+1 =5\\ 3x+1 = -5 \end{array}\right.\]

\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{4}{3} \\ x = -2 \end{array}\right.\]

Dạng 2: Giải phương trình \[\left | f[x] \right | = g[x]\]

Phương pháp :

\[\left | f[x] \right | = g[x] \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f[x] \geq 0\\ f[x] = \pm g[x] \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f[x] \geq 0\\ \left[\begin{array}{l} f[x] = g[x] \\ f[x] = -g[x] \end{array}\right. \end{matrix}\right.\]

\[\left | f[x] \right | = g[x] \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} f[x] \geq 0\\ f[x] = g[x] \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} f[x] < 0\\ -f[x] = g[x] \end{matrix}\right. \end{array}\right.\]

Ví dụ 2: Giải phương trình \[\left | 2-3x \right | = \left | 5-2x \right |\]

Giải:

\[\left | 2-3x \right | = \left | 5-2x \right | \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2-3x = 5-2x \\ 2-3x=-[5-2x] \end{array}\right.\]

\[\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=-3 \\ x=\frac{7}{5} \end{array}\right.\]

Dạng 3: Giải phương trình \[\left | f[x] \right | + \left | g[x] \right | = b\]

Phương pháp:

Bước 1: Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng

• Cách 2: Đưa về 4 trường hợp sau:

\[TH1:\, \left\{\begin{matrix} f[x] \geq 0\\ g[x]\geq 0 \end{matrix}\right.\]

Ta giải phương trình \[f[x] + g[x] = b\]

\[TH2:\,\left\{\begin{matrix} f[x]\geq 0\\ g[x] g[x] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {g[x] < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g[x] \ge 0}\\ {{f^2}[x] > {g^2}[x]} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.$

c]$\left| {f[x]} \right| < g[x] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g[x] > 0}\\
{{{\left[ {f[x]} \right]}^2} < {{\left[ {g[x]} \right]}^2}} \end{array}} \right.$

III. Ví dụ minh họa

Phương pháp 1: Khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa.

Giải bất phương trình sau: $\left| 2-5x \right|\ge x+1$

• Trường hợp 1: $2-5x\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{2}{5}$

Bất phương trình có dạng: $2-5x\ge x+1\Leftrightarrow 6x\le 1\Leftrightarrow x\le \frac{1}{6}$ .

Kết hợp điều kiện: $x\in \left[ -\infty ;\frac{1}{6} \right]$ [1]

• Trường hợp 2: $2-5x\frac{2}{5}$

Bất phương trình có dạng: $5x-2\ge x+1\Leftrightarrow 4x\ge 3\Leftrightarrow x\ge \frac{3}{4}$

Kết hợp điều kiện: $x\in \left[ \frac{3}{4};+\infty  \right]$ [2]

• Từ [1] và [2] suy ra bất phương trình có nghiệm : $x\in \left[ -\infty ;\frac{1}{6} \right]\cup \left[ \frac{3}{4};+\infty  \right]$.

Giải bất phương trình sau: ${{x}^{2}}-\left| x-3 \right|-5\ge 0$

• Trường hợp 1: $x-3\ge 0\Leftrightarrow x\ge 3$ Bất phương trình có dạng: ${{x}^{2}}-x-2\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x\le -1 \\ x\ge 2 \\ \end{matrix} \right.$ Kết hợp điều kiện: $x\ge 3$ [1].

• Trường hợp 2: $x-3

Phương pháp 2: Khử trị tuyệt đối bằng bảng

Giải bất phương trình sau: $\left| x-3 \right|+\left| x-1 \right|\ge x+1$

Trước tiên ta lưu ý:

Bước 1: Lập bảng khử trị tuyệt đối vế trái.

Bước 2: Từ bảng khử trị tuyệt đối ta có các trường hợp sau:

• Với $x\in \left[ -\infty ;1 \right]$ : Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}

x

• Với $x\ge 3$ : Bất phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 3 \\ 2x-4\ge x+1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 3 \\ x\ge 5 \\

\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge 5$ [3]

Từ [1], [2] và [3] suy ra bất phương trình có nghiệm: $x\in \left[ -\infty ;1 \right]\cup \left[ 5;+\infty  \right]$.

Giải bất phương trình: $\left| 3x-\left| x-1 \right| \right|\ge x+2$

• Bước 1: Lập bảng phá trị tuyệt đối vế trái

Bước 2: Dựa vào bảng trên ta có các trường hợp sau:

* Trường hợp 2: Với $\frac{1}{4}\le x

* Trường hợp 3: Với $x\ge 1$ Bất phương trình \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 1 \\ 2x+1\ge x+2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ge 1 \\ x\ge 1 \\

\end{matrix}\Leftrightarrow \right.x\ge 1\] [3]

Từ [1], [2] và [3] suy ra bất phương trình có nghiệm: $x\in \left[ -\infty ;-\frac{1}{5} \right]\cup \left[ 1;+\infty \right]$.

Phương pháp 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương

Giải bất phương trình sau:  $\left| 2x-1 \right|>\left| x-2 \right|$

Bpt $\Leftrightarrow {{\left[ 2x-1 \right]}^{2}}>{{\left[ x-2 \right]}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x1 \\
\end{matrix} \right.$ .

Lưu ý:

$\begin{array}{l} \left| {2x – 1} \right| > \left| {x – 2} \right|\\ \Leftrightarrow {\left[ {2x – 1} \right]^2} > {\left[ {x – 2} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {\left[ {2x – 1} \right]^2} – {\left[ {x – 2} \right]^2} > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {3x – 3} \right] > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {x > 1} \end{array}} \right.

\end{array}$

Giải bất phương trình sau: $\left| 2-5x \right|\ge x+1$

BPT$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}

{x + 1 < 0}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 \ge 0}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - 5x \ge x + 1}\\ {2 - 5x \le - x - 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge - 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x \le - 1}\\ {4x \ge 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 1}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge - 1}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \le x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ \begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \le x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \le - \frac{1}{6}}\\ {x \ge \frac{3}{4}} \end{array}} \right. \end{array}$

Tổng quát: $\left| f \right|>g\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
gg \\
f

Giải bất phương trình sau: $\left| 3x+1 \right|\le x-2$

$\begin{array}{l} \left| {3x – 1} \right| \le x + 2\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2 \ge 0}\\ {3x – 1 \le x + 2}\\ {3x – 1 \ge – x – 2} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge – 2}\\ {2x \le 3}\\ {4x \ge – 1} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \ge – 2}\\ {x \le \frac{3}{2}}\\ {x \ge – \frac{1}{4}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le x \le \frac{3}{2}

\end{array}$

Tổng quát: $\left| {f[x]} \right| < g[x] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g[x] > 0}\\

{{{\left[ {f[x]} \right]}^2} < {{\left[ {g[x]} \right]}^2}} \end{array}} \right.$

Giải các bất phương trình sau:

$a]\left| 4x-1 \right|\le \left| 2x+3 \right|$        

$b]\left| 3x+5 \right|\ge 2x-1$

$c]\left| 5-3x \right|\le x+3$         

$d]{{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|+1\le 0$

$e]\left| x+3 \right|+\left| x-1 \right|\le 2x-1$                         

$f]\left| x-\left| x-1 \right| \right|+\left| 2x-\left| x-3 \right| \right|\ge x+1$

—————————————

Download tài liệu:

PDF-Tại đây

Word-Tại đây:

———————————-

Xem thêm:

———————————