VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 7 bài viết Tính chất ba đường cao của tam giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 7.
Nội dung bài viết Tính chất ba đường cao của tam giác: A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Đường cao của tam giác Định nghĩa 1. Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường cao. 4! Chú ý: Trong một tam giác cân đường cao thuộc cạnh đáy thì cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực. 2. Tính chất ba đường cao của tam giác Tính chất 1. Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Nhận xét. Để xác định trực tâm H của 4ABC ta kẻ hai đường cao và khi đó giao điểm của chúng là trực tâm H. Nhận xét. Nếu H là trực tâm của 4ABC thì các tia AH, BH, CH sẽ vuông góc với cạnh đối diện. 3. Về đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân Định lí 1. Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. Nhận xét. Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường [đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này] trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Tính chất 2. Tính chất cho tam giác đều: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau. B CÁC DẠNG TOÁN VÍ DỤ 1. Cho 4ABC, trực tâm H. Tìm trực tâm của các tam giác 4ABH, 4ACH, 4BCH. LỜI GIẢI. Ta nhận thấy ngay: 4ABH nhận C là trực tâm. 4ACH nhận B là trực tâm. 4BCH nhận A là trực tâm. B M C A P H N VÍ DỤ 2. Cho 4ABC có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài đường cao AH. LỜI GIẢI. Từ giả thiết suy ra 4ABC cân tại A. Nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến ⇒ HB = HC = 1 2 BC = 5 cm. Áp dụng định lí Py-Ta-Go vào 4ABH vuông tại H ta có: AH2 = AB2 − BH2 = 132 − 5 2 = 169 − 25 = 144 ⇒ AH = 12 cm. Vậy AH = 12 cm. B H C A VÍ DỤ 3. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. 1 Chứng minh rằng A là trực tâm của 4ABC. 2 Tìm trực tâm của các 4ABH, 4ACH. LỜI GIẢI. 1 Vì 4ABC vuông tại A nên: AB ⊥ AC ⇒ AB là một đường cao. AC ⊥ AB ⇒ AC là một đường cao. Hai đường cao AB, AC cắt nhau tại A suy ra A là trực tâm của 4ABC. 2 Nhận xét rằng : 4ABH vuông tại H nên H chính là trực tâm của nó. 4ACH vuông tại H nên H chính là trực tâm của nó. A B H C Nhận xét. Nếu một tam giác có trực tâm trùng với một đỉnh thì tam giác đó là tam giác vuông. VÍ DỤ 4. Vẽ trực tâm 4ABC trong các trường hợp: 1 4ABC nhọn. 2 4ABC vuông tại A. 3 4ABC có A b 90◦. LỜI GIẢI. Ta có được các hình vẽ sau: 1 4ABC nhọn. B M C A N P H 2 4ABC vuông tại A. B M A C 3 4ABC có A b 90◦. B M C H N A P Nhận xét. Qua ví dụ trên, ta có nhận xét: 1 Nếu 4ABC nhọn thì trực tâm H ở bên trong 4ABC. 2 Nếu 4ABC vuông tại A thì trực tâm H trùng với điểm A. 3 Nếu 4ABC có A b 90◦ thì trực tâm H ở bên ngoài 4ABC. VÍ DỤ 5. Cho 4ABC, gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB. Chứng tỏ rằng các đường cao của 4MNP là các đường trung trực của 4ABC. LỜI GIẢI. Với đường cao MM1 của 4MNP, ta có: MM1 ⊥ NP. Vì N, P theo thứ tự là trung điểm của AC, AB ⇒ NP k BC ⇒ MM1 ⊥ BC. Vậy MM1 là đường trung trực của 4ABC. Tương tự, ta cũng có NN1, P P1là đường trung trực của 4ABC. Vậy các đường cao của 4MNP là đường trung trực của 4ABC. M1 N1 P1 A P N B M C VÍ DỤ 6. Cho 4ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Kẻ đường cao BN[N ∈ AC] cắt AM tại H. 1 Chứng minh rằng CH ⊥ AB. 2 Tính số đo các góc MBH và MHN biết Cb = 40◦. LỜI GIẢI. 1 Ta có AM ⊥ BC vì 4ABC cân tại A, mà AM ∩ BN = {H} suy ra H là trực tâm 4ABC, do đó BA ⊥ CH. 2 Trong 4CBN vuông tại N ta có CBN = 90◦ − BCN = 90◦ − 40◦ = 50◦. Vậy MBH = 50◦. Trong 4BHM vuông tại M ta có MHB = 90◦ − MBH = 90◦ − 50◦ = 40◦. Vậy MHN = 40◦ 40◦ B A H N M C VÍ DỤ 7. Cho 4ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của HC, HA.
Chứng minh rằng BE ⊥ AD. LỜI GIẢI. Vì D, E theo thứ tự là trung điểm của HC,HA suy ra: DE k AC. Kết hợp với AC ⊥ AB ta suy ra DE ⊥ AB. Trong 4ABD ta có AH ⊥ BD và DE ⊥ AB ⇒ E là trực tâm của 4ABD ⇒ BE ⊥ AD. A B H D C E VÍ DỤ 8. Cho 4ABC, có Ab = 45◦ và AC BC, đường cao CE. Trên tia đối của tia CE lấy điểm D sao cho EB = ED. Chứng minh rằng BC ⊥ AD. LỜI GIẢI. Gọi AC ∩ BD = {M}. Xét 4ADE vuông tại E ta có: EB = ED ⇔ 4BDE vuông cân tại E ⇒ EBD = 45◦. Suy ra : CAE + EBD = 45◦ + 45◦ = 90◦ ⇒ AM ⊥ BD. Trong tam giác 4ABD ta có AM ⊥ BD và DE ⊥ AB mà AM ∩ DE = {C} ⇒ C là trực tâm của 4ABD ⇒ BC ⊥ AD. 45◦ D M C A E B VÍ DỤ 9. Cho 4ABC, có Ab = 45◦ và trực tâm H. Chứng minh rằng BC = AH. LỜI GIẢI. Giải sử BH cắt AC tại E. Xét 4ABE vuông tại E ta có: BAE = 45◦ ⇒ ABE = 45◦ ⇒ 4ABE vuông cân tại E ⇒ AE = BE. Ta có EAH = EBC [cùng phụ với Cb]. Xét hai tam giác vuông 4AEH và 4BEC ta có: EAH = EBC AE = BE AEH = BEC ⇒ 4AEH = 4BEC [g-c-g] ⇒ AH = BC. A H E B M C C BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài tập tính chất 3 đường cao, trực tâm tam giác lớp 7. Tính chất 3 đường cao là một trong những nội dung trọng tâm trong chương trình học kì 2 hình học 7. Học sinh sẽ sử dụng tính chất này trong suốt những năm học sau này nữa. Vậy nên việc nhớ và vận dụng thành thạo định lý vào bài tập là điều cần thiết. Tài liệu đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết, các bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó. Phần lời giải rất chi tiết giúp các em học sinh ôn tập hiệu quả.
Tính chất 3 đường cao – Trực tâm tam giác
1. Định nghĩa đường cao
Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường cao.
2. Tính chất ba đường cao của tam giác
Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
3. Vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân.
Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
Nhận xét 1: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Nhận xét 2: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác là tam giác cân.
4. Đặc biệt đối với tam giác đều
Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Phiếu bài tập
Like share và ủng hộ chúng mình nhé:
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
- Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác
Bài 1: Cho ΔABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Em hãy chọn phát biểu đúng:
A. H là trọng tâm của ΔABC
B. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
C. CH là đường cao của ΔABC
D. CH là đường trung trực của ΔABC
Vì hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH là đường cao của ΔABC và H là trực tâm tam giác ΔABC nên A, B, D sai, C đúng.
Chọn đáp án C
Bài 2: Cho ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó
A. AM ⊥ BC
B. AM là đường trung trực của BC
C. AM là đường phân giác của góc BAC
D. Cả A, B, C đều đúng
Vì ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác ABC
Chọn đáp án D
Bài 3: Cho ΔABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 24cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC
A. AB = AC = 13cm
B. AB = AC = 14cm
C. AB = AC = 15cm
D. AB = AC = 16cm
ΔABC cân tại A [gt] mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó.
Vì AM là trung tuyến của ΔABC nên M là trung điểm của BC
Bài 4: Đường cao của tam giác đều cạnh a có bình phương độ dài là
Xét tam giác ABC đều cạnh AB = AC = BC = a có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay AM ⊥ BC tại M
Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là [3a2]/4
Chọn đáp án A
Bài 5: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng
A. AI > AK B. AI < AK C. AI = 2AK D. AI = AK
Chọn đáp án D
Bài 6: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. ΔAIK là tam giác gì?
A. ΔAIK là tam giác cân tại B
B. ΔAIK là tam giác vuông cân tại A
C. ΔAIK là tam giác vuông
D. ΔAIK là tam giác đều
Chọn đáp án B
Bài 7: Cho tam giác ABC không cân. Khi đó trực tâm của tam giác ABC là giao điểm của:
A. Ba đường trung tuyến
B. Ba đường phân giác
C. Ba đường trung trực
D. Ba đường cao
Vì tam giác ABC là tam giác không cân nên trực tâm của tam giác ABC là giao điểm của ba đường cao.
Chọn đáp án D
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy H thuộc AB, vẽ HE ⊥ BC ở E. Tia EH cắt tia CA tại D. Khi đó
A. H là trọng tâm của tam giác BDC
B. H là trực tâm của tam giác BDC
C. H là giao ba đường trung trực của tam giác BDC
D. H là giao ba đường phân giác của tam giác BDC
Trong tam giác BDC có:
BA ⊥ CD tại A [do tam giác ABC vuông tại A] ⇒ BA là một đường cao của tam giác BDC
DE ⊥ BC tại E [do HE ⊥ BC] ⊥ DE là một đường cao của tam giác BCD
Mà DE ∩ BA = H
Do đó H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác BDC
Suy ra H là giao điểm của ba đường cao trong tam giác BDC
Vậy H là trực tâm của tam giác BDC.
Chọn đáp án B
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AD. Lấy H thuộc AD và E thuộc CD sao cho HE // AC Khi đó
A. BH ⊥ AE
B. BH // AE
C. AE ⊥ AD
D. BH ⊥ AD
+ Ta có: HE // AC; AC ⊥ AB [do tam giác ABC vuông tại A]
Suy ra HE ⊥ AB [quan hệ từ vuông góc đến song song]
Trong tam giác ABE có:
AD ⊥ BE tại D nên AD là một đường cao của tam giác ABE
HE ⊥ AB nên E, H thuộc một đường cao của tam giác ABE
Mà H = HE ∩ AD
Do đó H là giao của hai đường cao trong tam giác ABE
Nên H là giao của ba đường cao trong tam giác ABE [ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm]
Vậy H là trực tâm của tam giác ABE
Suy ra BH ⊥ AE nên đáp án A đúng, đáp án B sai
+ Vì tia AD và tia AE đều nằm trong góc BAC, mà
+ Vì BH ⊥ AE mà AE ∩ AD = A nên BH không thể vuông góc với AD nên đáp án D sai.
Chọn đáp án A
Bài 10: Cho tam giác ABC có góc C^ = 45°, độ dài đường cao AH bằng 12cm và diện tích bằng 120cm2. Tính độ dài BH.
A. 8cm
B. 12cm
C. 15cm
D. 17cm
Chọn đáp án A
Xem thêm các phần lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 7 có đáp án chi tiết hay khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 7 sách mới:
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 7 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k9: fb.com/groups/hoctap2k9/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 7 có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 7 và Hình học 7.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.