Bài tập nâng cao về tính chất kết hợp của phép nhân

Trong chương trình toán lớp 2 tiểu học cũng như ở bậc trung học cơ sở, tính chất của phép nhân là dạng toán quen thuộc và thường gặp. Vậy định nghĩa phép nhân là gì? Phép nhân có những tính chất nào? Lý thuyết và bài tập về tính chất kết hợp và giao hoán của phép nhân? Thế nào là tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng? Để giải đáp được những thắc mắc trên, hãy cùng tìm hiểu ngay bài viết dưới đây của về chủ đề tính chất của phép nhân nhé!.

Lý thuyết cơ bản về phép nhân

Khái niệm phép nhân ở tiểu học

• Trong toán học, phép nhân theo định nghĩa chính là phép tính của giãn số bởi số khác. Phép nhân cũng là một trong 4 phép tính cơ bản của số học [bên cạnh cộng, trừ và chia]. Nó tác động tới hai hay nhiều đối tượng toán học [thừa số, còn gọi là nhân tử] để tạo ra một đối tượng toán học mới.
• Phép nhân được kí hiệu là × [hay là .]. Phép nhân còn được hiểu là kết quả của dịch vị của toàn bộ số nên nó chứa một vài bản của gốc, dó đó mà toàn bộ số sẽ sản sinh ra số lớn hơn một có thể tính tổng của một vòng lặp. Ví dụ, khi ta lấy một số cộng với nhiều số như 3+3+3+3 thì ra được 12. Thay vào đó, nếu ta sử dụng phép nhân thì nó sẽ nhanh hơn: 3 x 4
• Phép toán nhân hai số: A x B = C [Với A và B là thừa số, C là tích].

Định nghĩa phép nhân là gì?

Nếu như phép cộng sẽ cho một số tự nhiên duy nhất chính là tổng của chúng thì phép nhân hai số tự nhiên bất kì sẽ cho một số tự nhiên duy nhất chính là tích của chúng. Dấu + để chỉ phép cộng, tương tự thì dấu x hoặc . để chỉ phép nhân.

• [ a+b =c ] trong đó [ a ] và [ b ] là các số hạng; [ c ] được gọi là tổng.
• [ a.b=d ] trong đó [ a ] và [ b ] là các thừa số; [ d ] được gọi là tích.

Nếu như một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, thì ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số.

Ví dụ: [ a.b=ab; 4.x.y=4xy ]

Một số khái niệm liên quan

Định nghĩa lũy thừa là gì?

Lũy thừa theo định nghĩa chính là phép toán nhân của một số lặp đi lặp lại [ n ] lần

Ta có:

[ a.a=a^{2} ]

[ a.a.a=a^{3} ]

[ a.a.a.a=a^{4} ]

[ a.a.a.a.=a^{n} ]

Từ đó ta có:

[ a^{n}=a.a.a.a.a ]

là [ a ] luỹ thừa [ n ] bằng tích của [ a ] nhân với [ a ] [chính nó] [ n ] lần

Ví dụ về lũy thừa:

[ a ] luỹ thừa [ 3 ]

[ a^{3}=a.a.a ]

Xem thêm >>> Hàm số lũy thừa là gì? Lũy thừa của một số hữu tỉ và Lũy thừa ma trận

Định nghĩa giai thừa là gì?

Ta kí hiệu: [ 1.2.3.4n=n! ] chính là tích các số tự nhiên liên tiếp từ [ 1 ] đến [ n ] , đọc là [ n ] giai thừa.

Ví dụ về giai thừa:

[ 6! = 1.2.3.4.5.6=720 ]

[ 1!=1 ]

Chú ý: Đặc biệt với [ n=0 ] người ta quy ước [ 0!=1 ]

Tính chất cơ bản của phép nhân phân số

Khái niệm phép nhân phân số

Để nhân phân số, những gì bạn cần làm sẽ là tìm tích số của các tử số cũng như các mẫu số rồi rút gọn kết quả:

Ta có: [ frac{a}{b}.frac{c}{d}=frac{a.c}{b.d} ]

Các bước trong nhân phân số

Nhân tử số của các phân số với nhau

Ta có tử số chính là số nằm phía trên của phân số, ngược lại thì mẫu số chính là số nằm phía dưới của phân số. Khi nhân phân số, ta cần viết chúng thành hàng ngang để các tử số và mẫu số nằm gần nhau. Ví dụ: Khi thực hiện phép nhân 1/2 và 12/48, trước hết bạn cần tìm tích số của hai tử số 1 và 12. 1 x 12 = 12. Bạn có tử số của đáp án là 12.

[ frac{1}{2}.frac{12}{48}=frac{12}{96} ]

Tiếp tục nhân mẫu số của phân số

Sau đó nhân mẫu số cũng tương tự như khi tìm tích số của tử số. Lấy 2 nhân với 48. 2 x 48 = 96. Đây là mẫu số của đáp án. Vậy, phân số mới sẽ là 12/96.

Rút gọn phân số để có kết quả

Bạn hãy rút gọn kết quả nếu phân số đó vẫn chưa được tối giản. Cần lưu ý khi muốn rút gọn một phân số thì bạn cần tìm ước chung lớn nhất [ƯCLN] của tử số và mẫu số trong phân số đó. Ước chung lớn nhất của một số chính là số lớn nhất mà cả tử số và mẫu số đều chia hết. Trong ví dụ này, 96 có thể chia hết cho 12. Ta có: 12 chia 12 được 1, 96 chia 12 được 8. Vậy, 12/96 ÷ 12/12 = 1/8.

Nếu cả hai đều là số chẵn, bạn có thể bắt đầu bằng cách chia chúng cho 2 và cứ thế tiếp tục. 12/96 ÷ 2/2 = 6/48 ÷ 2/2 = 3/24. Đến đây, dễ dàng nhận ra rằng 24 chia hết được cho 3, vậy bạn có thể đem chia cả tử số và mẫu số cho 3 để có được đáp án là 1/8. 3/24 ÷ 3/3 = 1/8.

Tính chất cơ bản của phép nhân

Tính chất phép nhân bao gồm các tính chất giao hoán, kết hợp, nhân với 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Tính chất giao hoán của phép nhân

Phát biểu tính chất giao hoán của phép nhân: Tích của hai thừa số có giá trị sẽ không thay đổi khi đổi chỗ hai thừa số. [ a.b = b.a ]

Ví dụ 1: Tính

1. [ 2.[-3] ]
2. [ [-7].[-4] lll

Cách giải:

1. [latex] 2.[-3]=[-3].2=[-6] ]
2. [ [-7].[-4]=[-4].[-7]=28 ]

Chú ý:

• Phép nhân trong toán học có tính chất phân phối đối với phép trừ: [ a[b-c] = ab-ac ]
• Nếu số thừa số âm là số chẵn thì tích mang dấu [+] và ngược lại nếu số thừa số âm là số lẻ thì tích mang dấu [-].

Tính chất kết hợp của phép nhân

Phát biểu tính chất kết hợp của phép nhân: Muốn nhân một tích hai số với một số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba. [ [a.b].c=a.[b.c] ]

Ví dụ 1: Tính [ [9.[-5]].2 ]

Cách giải:

[ [9.[-5]].2=9.[[-5].2]=-90 ]

Chú ý:

• Nhờ tính chất kết hợp của phép nhân, ta có thể nói đến tích của ba, bốn, năm số nguyên. Chẳng hạn: [ a.b.c=a.[b.c]=[a.b].c ]
• Phép nhân nhiều số có tính chất giao hoán và kết hợp tổng quát.
• Khi thực hiện phép nhân nhiều số nguyên, ta nên dựa vào các tính chất giao hoán và kết hợp để thay đổi vị trí các thừa số, đồng thời là đặt dấu ngoặc để nhóm các thừa số một cách tùy ý.
• Ta cũng gọi tích của n số a là lũy thừa bậc n của số a.

Tính chất nhân với 1 của phép nhân

Phát biểu tính chất nhân với 1 của phép nhân: Tích của một số với 1 sẽ là chính nó

[ a.1=1.a=a ]

Ví dụ : [ 6.1=1.6=6 ]

Tính chất nhân với 0 của phép nhân

Phát biểu tính chất nhân với 0 của phép nhân: Tích của một số với 0 sẽ là 0

[ a.0=0 ]

Ví dụ: [ 251197.0=0 ]

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Phát biểu tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: Muốn nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng, rồi cộng các kết quả lại.

[ a.[b+c]=ab+ac ]

Chú ý: Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép trừ: [ a[b-c] = ab-ac ]

Ví dụ 1: [ 6.7+6.3=6.[7+3]=6.10=60 ]

Ví dụ 2: Thay một thừa số bằng tổng để tính:

1. [ -53.21 ]
2. [ 45.[-12] ]

Cách giải:

1. [ -23.21=-52.[20+1]=-53.20-53.1=-1060-23=-1113 ]
2. [ 45.[-12]=45.[-10-2]=45.[-10]+45.[-2]=-450-90=-540 ]

Một số tính chất khác của phép nhân

Giá trị tuyệt đối của một tích

Phát biểu: Giá trị tuyệt đối của một tích trong toán học sẽ bằng tích các giá trị tuyệt đối

Nghĩa là: [ left | a.b right |=left | a right |.left | b right | ]

Ví dụ:

[ left | 5.[-2] right |=left | 5 right |.left | -2 right | = 5.2 = 10 ]

[ left | 5.[-2].3 right |=left | 5 right |.left | -2 right |.left | 3 right | = 5.2.3 = 30 ]

Tính chất bình phương của số nguyên

Phát biểu: Giá trị bình phương của một số nguyên trong toán học luôn lớn hơn hoặc bằng 0

Nghĩa là: Với [ ainmathbb{Z} ] thì [ a^{2}geq 0 ] [dấu = xảy ra khi [ a =0 ] ]

So sánh tích trong tính chất của phép nhân

Với [ a, b, c ] ta luôn có:

• Nếu [ c>0 ] ta có [ ageq bLeftrightarrow acgeq bc ]
• Nếu [ c