Bài tập giới hạn hàm số dạng 0/0 năm 2024
|
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\), trong đó \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các đa thức hoặc căn thức. Show
Phương pháp: - Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử. - Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu. - Bước 3: Tính giới hạn theo cách thông thường. Nếu \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có chứa căn thức thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích và giản ước. Đặc biệt: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$ Ví dụ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{1}{{2 - 1}} = 1$ 2. Dạng vô định \(\dfrac{\infty }{\infty }\) Bài toán: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = \pm \infty \), trong đó \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các đa thức. Phương pháp: - Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung. - Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của \(x\). - Bước 3: Tính các giới hạn thông thường và suy ra kết quả. Ví dụ: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{2x}} = - \dfrac{1}{2}\) Cần xét xem \(x \to + \infty ,x \to - \infty \) khi khai căn biểu thức có chứa căn bậc hai. 3. Dạng vô định \(0.\infty \) Bài toán: Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \pm \infty $. Phương pháp: - Bước 1: Biến đổi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{{g\left( x \right)}}}}$ để đưa về dạng \(\dfrac{0}{0}\) hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{g\left( x \right)}}{{\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}}}$ để đưa về dạng \(\dfrac{\infty }{\infty }\). - Bước 2: Sử dụng các phương pháp của dạng 1 và 2 để tính tiếp giới hạn. 4. Dạng vô định \(\infty - \infty \) Bài toán: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = + \infty \) hoặc tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = - \infty \). Phương pháp: - Bước 1: Nhận hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân thức. Giới hạn của hàm số là phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11 và là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra. Trong bài viết dưới đây, VUIHOC sẽ giúp các em tổng hợp lý thuyết, các công thức tính giới hạn hàm số cùng các bài tập vận dụng và lời giải chi tiết để từ đó ôn tập hiệu quả nhé! 1. Lý thuyết giới hạn của hàm số1.1. Giới hạn của hàm số là gì?Khái niệm “Giới hạn” được sử dụng trong toán học để chỉ giá trị khi biến của một hàm số hoặc một dãy số khi tiến dần tới một giá trị xác định. Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân. Đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó. Ta có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f(x) tiến càng gần L khi x tiến càng gần a. Ký hiệu Toán học: Ví dụ: do nhận các giá trị rất gần 4 khi x tiến đến 2. 1.2. Giới hạn của hàm số tại 1 điểmCho hàm số y = f(x) và khoảng K chứa điểm x0. Hàm f(x) xác định trên K hoặc K ∖ x0 Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới x0 nếu với dãy xn bất kì, ta có Ký hiệu Toán học: hay f(x) = L khi 1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cựca, Cho y = f(x) xác định trên Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới nếu với dãy bất kì, và ta có Ký hiệu Toán học:
hay f(x) = L khi b, Cho y = f(x) xác định trên Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới nếu với dãy bất kì, và ta có Ký hiệu Toán học: hay f(x) = L khi Nhận xét: Hàm số f(x) có giới hạn là khi và chỉ khi hàm số -f(x) có giới hạn là 1.4. Giới hạn của hàm số là limGiả sử f(x) là một hàm số giá trị thực, a là một số thực. Biểu thức có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần a. Ta nói giới hạn của f(x) khi xđạt gần đến a là L. Chú ý rằng điều này cũng đúng khi $f(a)\neq L$ và khi f(x) không xác định tại a. Đăng ký ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia độc quyền của VUIHOC 2. Các định lý về giới hạn của hàm số
a, Giả sử và . Khi đó: b, Nếu và thì: và Dấu của hàm f(x) được xét trên khoảng cần tìm giới hạn với
khi và chỉ khi 3. Một số giới hạn đặc biệta, b, c, d, với c là hằng số e, với k là số nguyên dương f, nếu như k là số lẻ g, nếu như k là số chẵn 4. Các dạng toán tính giới hạn của hàm số và ví dụ4.1. Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng định nghĩaPhương pháp giải: chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số để tính Ví dụ: Tìm giới hạn của các hàm số sau đây bằng định nghĩa: a, b, c, d, Lời giải: 1. Với mọi dãy (xn): limxn = 1 ta có: Vậy 2. Với mọi dãy (xn): limxn = 1 ta có: 3. Với mọi dãy (xn): limxn = 0 ta có: 4. Với mọi dãy (xn): xn > 1, n và limxn = 1 ta có: 4.2. Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùngHàm số 0/0 là hàm số có dạng với Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơzu: Nếu f(x) có nghiệm , ta sẽ có Nếu hàm f(x) và g(x) là đa thức thì ta sẽ phân tích như sau: Khi đó , ta tiếp tục quá trình như trên nếu giới hạn này có dạng 0/0 Ví dụ: Tìm các giới hạn dưới đây: a, b, Lời giải: a, Ta có: b, Ta có: 4.3. Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùngPhương pháp giải: Ta tìm các biến hàm số về dạng Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây: a, b, Lời giải: a, b, 4.4. Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùngPhương pháp giải: Ta biến đổi về dạng 0/0 hoặc $\infty/\infty$ sau đó dùng phương pháp giải của hai dạng này Ví dụ: Tìm giới hạn: Lời giải: Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm ngay từ bây giờ 5. Một số bài tập về giới hạn của hàm số từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)Bài 1: Tìm các giới hạn của hàm số dưới đây bằng giới hạn: Lời giải: Bài 2: Chứng minh các hàm số dưới đây không có giới hạn:
Lời giải: Bài 3: Chứng minh khi x tiến tới 0 không có giới hạn Lời giải: Bài 4: Tìm giới hạn sau: Lời giải: Bài 5: Tìm giới hạn sau: Lời giải: Bài 6: Tìm giới hạn: Lời giải: Bài 7: Tìm giới hạn: Lời giải: Bài 8: Tính giới hạn: Lời giải: Bài 9: Tính: Lời giải: Bài 10: Tính Lời giải: PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT: ⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+ ⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích ⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô ⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi ⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề ⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập Đăng ký học thử miễn phí ngay!! Trên đây là toàn bộ lý thuyết giới hạn của hàm số. Hy vọng các em đã nắm được định nghĩa, các định lý, giới hạn đặc biệt cũng như nắm được các dạng bài tập cùng cách tìm giới hạn của hàm số thuộc chương trình Toán 11. Đừng quên truy cập Vuihoc.vn để học thêm nhiều bài học bổ ích khác nhé! |
