Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\] Kẻ \[AH\] vuông góc với \[BC\; [H ∈ BC]\]. Tìm góc bằng góc \[B.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
Lời giải chi tiết
Có thể tìm góc bằng góc \[B\] bằng hai cách:
*Cách 1
Ta có \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \] [1]
Xét \[∆AHB\] vuông tại \[H\] nên ta có:
\[\widehat B + \widehat {A_1} = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat B = \widehat {{A_2}}\]
*Cách 2
Xét \[∆ABC\] vuông tại \[A\] nên ta có:
\[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông] [3]
Xét \[∆AHC\] vuông tại \[H\] nên ta có:
\[\widehat {{A_2}} + \widehat C = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông] [4]
Từ [3] và [4] suy ra: \[\widehat B = \widehat {{A_2}}\].
12
- ∠B = 80o, ∠C = 40o
Ta có:
∠[B1] = [1/2]∠[ABC] = [1/2].80o = 40o [vì BD là tia phân giác ∠[ABC]]
∠[C1] = [1/2]∠[ACB] = [1/2].40o = 20o [vì CE là tia phân giác ∠[ACB]]
Trong ΔIBC, ta có: ∠[BIC] + ∠[B1] + ∠[C1] = 180o[tổng 3 góc trong tam giác]
Vậy: ∠[BIC] = 180o - [∠[B1] + ∠[C1]] = 180o - [40o + 20o] = 120o
- Ta có:
+ Trong ΔBIC có ∠BIC = 180o - [∠B1 + ∠C1] [1]
+ BI, CI là phân giác của ∠ABC và ∠BCA nên:
∠B1 = 1/2. ∠BAC; ∠C1 = 1/2. ∠ACB
⇒ ∠B1 + ∠C1 = 1/2. [∠BAC + ∠BCA] [2]
+ Trong ΔABC có: ∠BAC + ∠BCA = 180 - ∠A [3].
Từ [1], [2] và [3] suy ra ∠BIC = 180o - 1/2.[180 - ∠A] = 90o + 1/2.∠A
∠A = 80o ⇒ ∠BIC = 90 + 1/2.80o = 130o.
∠A = mo ⇒ ∠BIC = 90o + 1/2.mo.
13
Kéo dài AC cắt By tại D
Vì By // Ax suy ra ∠[D1] = ∠A [hai góc so le trong]
Mà ∠A = 50o[gt] nên ∠∠[D1] = 50o
TrongΔBCD ta có ∠[ACB] là góc ngoài tại đỉnh C
⇒∠[ACB] = ∠B + ∠[D1] [tính chất góc ngoài của tam giác]
⇒∠[ACB] = 40o + 50o = 90o
14
Ta có: ∠[A1 ] +∠[A2 ] =180o[hai goác kề bù]
∠[B1 ] +∠[B2 ] =180o[hai goác kề bù]
∠[C1 ] +∠[C2 ]=180o[hai goác kề bù]
Suy ra: ∠[A1 ] +∠[A2 ] +∠[B1] +∠[B2 ] +∠[C1 ] +∠[C2 ] =180.3=540o
⇒∠[A2 ] + ∠[ B2 ] +∠[C2 ] =540o-[∠[A1 ] +∠[B1 ] +∠[C1 ] ] [1]
Trong ΔABC, ta có:
∠[A1 ] +∠[B1 ] +∠[C1 ] =180o [tổng ba góc trong tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: ∠[A2 ] +∠[B2 ] +∠[C2 ] =540o-180o=360o
15
Trong ∆ABE ta có ∠E1 là góc ngoài tại đỉnh E
Suy ra: ∠E1 >∠A1 [tính chất góc ngoài tam giác][1]
Trong ∆AEC ta có ∠E2 là góc ngoài tại đỉnh E
Suy ra: ∠E2 > ∠A2 [tính chất góc ngoài tam giác][2]
Cộng từng vế [1] và [2] ta có:
∠E2 +∠E2 >∠A2 +∠A1
Hay [BEC] > [BAC] =90o
Vậy [BEC] là góc tù.
Ta có \[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \] [1]
Vì ∆AHB vuông tại H nên:
\[\widehat B + \widehat A = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat B = \widehat {{A_2}}\]
*Cách 2
Vì ∆ABC vuông tại A nên:
\[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông] [1]
Vì ∆AHC vuông tại H nên
\[\widehat {{A_2}} + \widehat C = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat B = \widehat {{A_2}}\].
Câu 10 trang 138 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho hình dưới:
- Có bao nhiêu tam giác vuông trong hình?
- Tính số đo các góc nhọn ở các đỉnh C, D, E.
Giải
- Có năm tam giác vuông trong hình:
∆ABC vuông tại B
∆CBD vuông tại B
∆EDA vuông tại D
∆DCAvuông tại C
∆DCEvuông tại C
- ∆ABC vuông tại B, suy ra:
\[\widehat A + \widehat {ACB} = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \cr & \widehat {ACB} + \widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}} = 90^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {BC{\rm{D}}} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \cr} \]
∆ACD vuông tại C, suy ra:
\[\widehat A + \widehat {C{\rm{D}}A} = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {C{\rm{D}}A} = 90^\circ - \widehat A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \cr & \widehat {C{\rm{D}}A} + \widehat {C{\rm{D}}E} = \widehat {A{\rm{D}}E} = 90^\circ \cr & \Rightarrow \widehat {C{\rm{D}}E} = 90^\circ - \widehat {C{\rm{D}}A} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \cr} \]
∆DEA vuông tại D, suy ra:
\[\widehat A + \widehat E = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \widehat E = 90^\circ - \widehat A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \]
Câu 11 trang 138 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC có \[\widehat B = 70^\circ ,\widehat C = 30^\circ \]. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Kẻ AH vuông góc với BC [H ∈ BC].
- Tính \[\widehat {BAC}\]
- Tính \[\widehat {A{\rm{D}}H}\]
- Tính \[\widehat {HA{\rm{D}}}\]
Giải
- Trong ∆ABC, ta có:
\[\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] [tổng ba góc trong tam giác]
Mà \[\widehat B = 70^\circ ;\widehat C = 30^\circ \left[ {gt} \right]\]
Suy ra: \[\widehat {BAC} + 70^\circ + 30^\circ = 180^\circ \]
Vậy \[\widehat {BAC} = 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ \]
- Ta có: \[\widehat {{A_1}} = {1 \over 2}\widehat {BAC} = {1 \over 2}.80^\circ = 40^\circ \] [Vì AD là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]]
Trong ∆ADC ta có \[\widehat {A{\rm{D}}H}\] là góc ngoài tại đỉnh D.
Do đó: \[\widehat {A{\rm{D}}H} = \widehat {{A_1}} + \widehat C\] [tính chất góc ngoài của tam giác]
Vậy \[\widehat {A{\rm{D}}H} = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ \]
- ∆ADH vuông tại H nên:
\[\widehat {HA{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}H} = 90^\circ \] [tính chất tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ - \widehat {A{\rm{D}}H} = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \]
Câu 12 trang 138 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Tính \[\widehat {BIC}\] biết rằng:
- \[{\rm{}}\widehat B = 80^\circ ,\widehat C = 40^\circ \]
- \[\widehat A = 80^\circ \]
- \[\widehat A = m^\circ \]
Giải
- Ta có
\[\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat {ABC} = {1 \over 2}.80^\circ = 40^\circ \] [vì BD là tia phân giác của \[\widehat {ABC}\]]
\[\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat {ACB} = {1 \over 2}.40^\circ = 20^\circ \] [vì CE là tia phân giác của \[\widehat {ACB}\]]
Trong ∆IBC, ta có: \[\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \] [tổng 3 góc trong tam giác]
\[\widehat {BIC} = 180^\circ - \left[ {\widehat {\widehat {{B_1}} + {C_1}}} \right] = 180^\circ - \left[ {40^\circ + 20^\circ } \right] = 120^\circ \]
- Ta có:
\[\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\] [vì BD là tia phân giác \[\widehat B\]]
\[\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\] [vì CE là tia phân giác \[\widehat C\]]
Trong ∆ABC, ta có:
\[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \] [tổng ba góc trong tam giác]
Suy ra \[\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \]
Trong ∆IBC, ta có: \[\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \]
Vậy \[\widehat {BIC} = 180^\circ - {{180^\circ - m^\circ } \over 2} = 180^\circ - 90^\circ + {{m^\circ } \over 2} = 90^\circ + {{m^\circ } \over 2}\]