Bài 40 41 42 43 sgk trang 83 toán 9 năm 2024
|
SGK Toán 9»Góc Với Đường Tròn»Bài Tập Bài 5: Góc Có Đỉnh Ở Bên Trong Đ...»Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 2 Bài 40 Tra... Xem thêm Đề bài Bài 40 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2):Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn . Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD. Đáp án và lời giải Gọi E là giao điểm của AD với (O) Ta có: (AD là tia phân giác ) (1) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau) Ta lại có: sđ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây chắn ) (sđ sđ ) (2) Và ta có: (sđ sđ ) (3) (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) Từ (1), (2), (3) suy ra cân tại A nên SA = SD Tác giả: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến - Tổ Toán Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 2 Bài 39 Trang 83 Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 2 Bài 41 Trang 83 Xem lại kiến thức bài học
Câu bài tập cùng bài
Phương pháp: +) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. +) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Lời giải: Xét đường tròn \((O)\) có hai đường kính \(AB \bot CD\) nên \( \widehat{AOC}=\widehat{BOC}=90^0\) nên \(\overparen{CA}=\overparen{CB}.\)(1) +) Ta có \( \widehat{MSE}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung \(AC\) và cung \(BM.\) \(\Rightarrow \widehat{MSE} = \dfrac{sđ\overparen{CA}+sđ\overparen{BM}}{2}\) (2) +) \(\widehat{CME} \) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(CM\) \(\Rightarrow \widehat{CME}= \dfrac{sđ\overparen{CM}}{2}= \dfrac{sđ\overparen{CB}+sđ\overparen{BM}}{2}\) (3) Từ (1), (2), (3) ta có: \(\widehat{MSE} = \widehat{CME}\) nên \(∆ESM\) cân tại \(E\) và \(ES = EM\) (đpcm). Bài 40 trang 83 SGK Toán lớp 9 tập 2 Câu hỏi: Qua điểm \(S\) nằm bên ngoài đường tròn \((O)\), vẽ tiếp tuyến \(SA\) và cát tuyến \(SBC\) của đường tròn. Tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt dây \(BC\) tại \(D.\) Chứng minh \(SA = SD.\) Lời giải: Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của \(AD\) với đường tròn \((O).\) Xét đường tròn \((O)\) ta có: +) \(\widehat{ADS}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung \(AB\) và \(CE.\) \(\Rightarrow \widehat {ADS}=\dfrac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CE}}{2}.\) (1) +) \(\widehat{SAD}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AE.\) \(\Rightarrow \widehat {SAD}=\dfrac{1}{2} sđ\overparen{AE}.\) (2) +) Có: \(\widehat {BAE} = \widehat {EAC}\) (do \(AE\) là phân giác góc \(BAC\)) \(\Rightarrow \) \(\overparen{BE}=\overparen{EC}\) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau). \(\Rightarrow sđ\overparen{AB} + sđ\overparen{BE}= sđ\overparen{AB} + sđ\overparen{EC}\)\( sđ\overparen{AE}\) (3) Từ (1) và (3) \(\Rightarrow \widehat {ADS}=\dfrac{sđ\overparen{AE}}{2}\) (4) Từ (2) và (4) \(\Rightarrow\widehat {ADS}=\widehat {SAD}\)\(\Rightarrow\) tam giác \(SDA\) cân tại \(S\) hay \(SA=SD\). Bài 41 trang 83 SGK Toán lớp 9 tập 2 Câu hỏi: Qua điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \((O)\) vẽ hai cát tuyến \(ABC\) và \(AMN\) sao cho hai đường thẳng \(BN\) và \(CM\) cắt nhau tại một điểm \(S\) nằm bên trong đường tròn. Chứng minh: \(\widehat A + \widehat {BSM} = 2\widehat {CMN}.\) Phương pháp: +) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. +) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. +) Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn. Lời giải: Xét đường tròn \((O)\) có: +) \(\widehat A\) là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn \((O)\) chắn cung \(CN\) và \(BM\) \(\Rightarrow \widehat A = \dfrac{sđ\overparen{CN}-sđ\overparen{BM}}{2}\) (1) +) \(\widehat {BSM}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn \((O)\) chắn cung \(CN\) và \(BM\) \(\Rightarrow \widehat {BSM}=\dfrac{sđ\overparen{CN}+sđ\overparen{BM}}{2}\) (2) Cộng (1) và (2) theo vế với vế: \(\widehat{A}\)+\(\widehat {BSM}\)\(=\dfrac{2sđ\overparen{CN}+(sđ\overparen{BM}-sđ\overparen{BM)}}{2}=sđ \overparen{CN}\) (3) Mà \(\widehat {CMN}\) là góc nội tiếp chắn cung \(CN\) \(\Rightarrow \widehat {CMN}=\dfrac{sđ\overparen{CN}}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(2\widehat {CMN}=sđ\overparen{CN}\). (4) Từ (3) và (4) ta được: \(\widehat A + \widehat {BSM} = 2\widehat {CMN}\) (đpcm). Bài 42 trang 83 SGK Toán lớp 9 tập 2 Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn. \(P,\, Q,\, R\) theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \(BC, \, CA, \,AB\) bởi các góc \(A, \,B,\, C\).
Lời giải:
Vì \(P,\, Q,\, R\) theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \(BC, \, CA, \,AB\) bởi các góc \(A, \,B,\, C\) nên \(sđ\overparen{AR}=sđ\overparen{RB}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB}\) , \(sđ\overparen{AQ}=sđ\overparen{QC}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AC}\), \(sđ\overparen{PC}=sđ\overparen{PB}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{BC}.\) Suy ra \(sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}\)\(=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB}+\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AC}+\dfrac {1}{2}sđ\overparen{BC}\)\(=\dfrac {1}{2}(sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB})\)\(=\dfrac {1}{2}.360^0=180^0\) Xét đường tròn \((O)\) ta có: +) \(\widehat{AKR}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung \(AR\) và \(QP\) nên: \( \widehat{AKR}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QP}}{2}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}=\dfrac{1}{2}.180^0=90^0.\) Vậy \(\widehat{AKR} = 90^0\) hay \(AP \bot QR\)
+) \(\widehat{CIP}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung \(AR\) và \(CP\) nên: \(\widehat{CIP}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}\) (1) +) \(\widehat {PCI}\) góc nội tiếp chắn cung \(PR\), nên \(\widehat {PCI}=\dfrac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}\) (2) Theo giả thiết thì \(\overparen{AR} = \overparen{RB}\) (3) và \(\overparen{CP} = \overparen{BP}\) (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\widehat {CIP}=\widehat {PCI}\). Do đó \(∆CPI\) cân. Bài 43 trang 83 SGK Toán lớp 9 tập 2 Câu hỏi: Cho đường tròn \((O)\) và hai dây cung song song \(AB,\, CD\) (\(A\) và \(C\) nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ \(BD\)); \(AD\) cắt \(BC\) tại \(I\). Chứng minh \(\widehat{AOC }= \widehat{AIC }.\) Lời giải: Vì \(AB // CD\) nên\(\overparen{AC}=\overparen{BD}\) ( 2 cung chắn giữa 2 dây song song thì bằng nhau) (1) Ta có: \(\widehat{AIC}\) là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn cung \(AC\) và cung \(BD\) \(\Rightarrow \widehat{AIC }= \dfrac{sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BD}}{2}\) Theo (1) suy ra \(\widehat{AIC }=\dfrac{sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{AC}}{2}\)\(=\dfrac{2.sđ\overparen{AC}}{2}= sđ\overparen{AC}\) (3) |
