Bài 17 trang 159 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đên EF. Chứng minh rằng IE = KF.
Lời giải:
Ta có: AI ⊥ EF [gt]
BK ⊥ EF [gt]
Suy ra: AI // BK
Suy ra tứ giác ABKI là hình thang
Kẻ OH ⊥ EF
Suy ra: OH // AI // BK
Ta có: OA = OB [= R]
Suy ra: HI = HK
Hay: HE + EI = HF + FK [1]
Lại có: HE = HF [đường kính dây cung] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: IE = KF
Bài 18 trang 159 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn [O] bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB
Suy ra: IO = IA = [1/2].OA = 3/2
Ta có: BC ⊥ OA [gt]
Suy ra: góc [OIB] = 90o
Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông OBI ta có: OB2 = BI2 + IO2
Suy ra: BI2 = OB2 - IO2
Ta có: BI = CI [đường kính dây cung]
Bài 19 trang 159 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn [O], đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn [O] ở B và C.
- Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?
- Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA
- Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải:
- Ta có:
OB = OC = R [vì B, C nằm trên [O; R]]
DB = DC = R [vì B, C nằm trên [D; R]]
Suy ra: OB = OC = DB = DC
Vậy tứ giác OBDC là hình thoi
- Ta có: OB = OC = BD = R
Bài 20 trang 159 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: a. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM = BN
- Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M và N kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.
Lời giải:
- Ta có: CM ⊥ CD
DN ⊥ CD
Suy ra: CM // DN
Kẻ OI ⊥ CD
Suy ra: OI // CM // DN
Ta có: IC = ID [đường kính dây cung]
Suy ra: OM = ON [1]
Mà: AM + OM = ON + BN [= R] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AM = BN
- Ta có: MC // ND [gt]
Suy ra tứ giác MCDN là hình thang
Lại có: OM + AM = ON + BN [= R]
Mà AM = BN [gt]
Suy ra: OM = ON
Kẻ OI ⊥ CD [3]
Suy ra: IC = ID [đường kính dây cung]
Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ACDN
Suy ra: OI // MC // ND [4]
Từ [3] và [4] suy ra: MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.
Bài 21 trang 159 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK
Lời giải:
Kẻ OM ⊥ CD cắt AD tại N
Ta có: MC = MD [đường kính dây cung]
Hay MH + CH = MK + KD [1]
Ta có: OM // BK [cùng vuông góc với CD]
Hay: MN // BK
Mà: OA = OB [= R]
Suy ra: NA = NK [tính chất đường trung bình của tam giác]
Lại có: OM // AH [cùng vuông góc với CD]
Hay: MN // AH
Mà: NA = NK [chứng minh trên]
Suy ra: MH = MK [tính chất đường trung bình của tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: CH = DK
Bài 22 trang 159 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn [O; R] và điểm M nằm bên trong đường tròn.
- Hãy nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm
- Tính độ dài AB ở câu a biết rằng R = 5cm, OM = 1,4cm
Lời giải:
- * Cách dựng
- Dựng đoạn OM
- Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM cắt O tại A và B.
Nối A và B ta được dây cần dựng
*Chứng minh
Ta có: OM ⊥ AB ⇒ MA = MB
- Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông OMB ta có:
OB2 = OM2 + MB2
Suy ra: MB2 = OB2 - OM2 = 52 - 1,42 = 25 - 1,96 = 23,04
MB = 4,8 [cm]
Vậy AB = 2.MB = 2.4,8 = 9,6 [cm]
Bài 23 trang 159 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn [O], điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằm bên ngoài đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây CD vuông góc với OI tại I. Hãy cho biết ACBD là hình gì? Vì sao?