Lý thuyết tập hợp sử dụng một số phép toán khác nhau để xây dựng các tập hợp mới từ những tập hợp cũ. Có nhiều cách để chọn các phần tử nhất định từ các tập hợp nhất định trong khi loại trừ các phần tử khác. Kết quả thường là một tập hợp khác với những tập hợp ban đầu. Điều quan trọng là phải có các cách được xác định rõ ràng để xây dựng các tập hợp mới này và các ví dụ về chúng bao gồm sự hợp nhất , giao nhau và sự khác biệt của hai tập hợp . Một phép toán tập hợp có lẽ ít được biết đến hơn được gọi là sự khác biệt đối xứng.
Định nghĩa sự khác biệt đối xứng
Để hiểu định nghĩa của sự khác biệt đối xứng, trước tiên chúng ta phải hiểu từ 'hoặc.' Mặc dù nhỏ, từ 'hoặc' có hai cách sử dụng khác nhau trong ngôn ngữ tiếng Anh. Nó có thể là độc quyền hoặc bao hàm [và nó chỉ được dùng riêng trong câu này]. Nếu chúng ta được cho biết rằng chúng ta có thể chọn trong số A hoặc B, và cảm giác là độc quyền, thì chúng ta có thể chỉ có một trong hai lựa chọn. Nếu ý nghĩa là bao hàm, thì chúng ta có thể có A, chúng ta có thể có B, hoặc chúng ta có thể có cả A và B.
Thông thường, ngữ cảnh hướng dẫn chúng ta khi chúng ta gặp phải từ hoặc và chúng ta thậm chí không cần nghĩ về cách nó được sử dụng. Nếu chúng tôi được hỏi liệu chúng tôi muốn kem hay đường trong cà phê của mình , thì rõ ràng là chúng tôi có thể có cả hai thứ này. Trong toán học, chúng tôi muốn loại bỏ sự mơ hồ. Vì vậy, từ 'hoặc' trong toán học có một ý nghĩa bao hàm.
Do đó, từ 'hoặc' được sử dụng theo nghĩa bao hàm trong định nghĩa của liên minh. Hợp của tập A và B là tập hợp các phần tử trong A hoặc B [bao gồm cả những phần tử nằm trong cả hai tập hợp]. Nhưng nó trở nên đáng giá khi có một phép toán tập hợp để xây dựng tập hợp chứa các phần tử trong A hoặc B, trong đó 'hoặc' được sử dụng theo nghĩa riêng. Đây là những gì chúng tôi gọi là sự khác biệt đối xứng. Sự khác biệt đối xứng của tập A và B là những phần tử trong A hoặc B, nhưng không phải trong cả A và B. Trong khi ký hiệu thay đổi cho sự khác biệt đối xứng, chúng ta sẽ viết nó là A B
Để có ví dụ về sự khác biệt đối xứng, chúng ta sẽ xem xét các tập A = {1,2,3,4,5} và B = {2,4,6}. Sự khác biệt đối xứng giữa các tập hợp này là {1,3,5,6}.
Trong Điều khoản của Hoạt động Tập hợp Khác
Các phép toán tập hợp khác có thể được sử dụng để xác định sự khác biệt đối xứng. Từ định nghĩa trên, rõ ràng chúng ta có thể biểu thị sự khác biệt đối xứng của A và B là hiệu của hợp của A và B và giao của A và B. Trong các ký hiệu ta viết: A B = [A B ] - [A B] .
Một biểu thức tương đương, sử dụng một số phép toán tập hợp khác nhau, giúp giải thích sự khác biệt đối xứng tên. Thay vì sử dụng công thức trên, chúng ta có thể viết sự khác biệt đối xứng như sau: [A - B] [B - A] . Ở đây chúng ta lại thấy rằng sự khác biệt đối xứng là tập hợp các phần tử trong A nhưng không phải B, hoặc trong B nhưng không A. Như vậy chúng ta đã loại trừ những phần tử đó trong giao điểm của A và B. Có thể chứng minh bằng toán học rằng hai công thức này là tương đương và tham chiếu đến cùng một tập hợp.
Sự khác biệt đối xứng tên
Sự khác biệt đối xứng tên gợi ý một mối liên hệ với sự khác biệt của hai tập hợp. Sự khác biệt tập hợp này thể hiện rõ trong cả hai công thức trên. Trong mỗi người trong số họ, sự khác biệt của hai tập hợp được tính toán. Điều tạo ra sự khác biệt đối xứng ngoài sự khác biệt là tính đối xứng của nó. Bằng cách xây dựng, vai trò của A và B có thể được thay đổi. Điều này không đúng với sự khác biệt giữa hai tập hợp.
Để nhấn mạnh điểm này, chỉ với một chút công việc chúng ta sẽ thấy tính đối xứng của sự khác biệt đối xứng vì chúng ta thấy A B = [A - B] [B - A] = [B - A] [A - B] = B Δ Một .